MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsbas 21872
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
fclsbas ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝑜,𝑠,𝐵   𝑜,𝐹   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐽(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
2 fgcl 21729 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
32adantl 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
41, 3syl5eqel 2734 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fclsopn 21865 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
64, 5syldan 486 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
7 ssfg 21723 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
87ad3antlr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
98, 1syl6sseqr 3685 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵𝐹)
10 ssralv 3699 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐹 → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
12 ineq2 3841 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑠 → (𝑜𝑡) = (𝑜𝑠))
1312neeq1d 2882 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → ((𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
1413cbvralv 3201 . . . . . . . 8 (∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)
1511, 14syl6ib 241 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
161eleq2i 2722 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐹𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵))
17 elfg 21722 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1817ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1916, 18syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡𝐹 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
2019simplbda 653 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)
21 r19.29r 3102 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → ∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
22 sslin 3872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑡 → (𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡))
23 ssn0 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡) ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2422, 23sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2524rexlimivw 3058 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2726ex 449 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2820, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2928ralrimdva 2998 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
3015, 29impbid 202 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3130anassrs 681 . . . . 5 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝐴𝑜) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3231pm5.74da 723 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3332ralbidva 3014 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3433pm5.32da 674 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
356, 34bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  TopOnctopon 20763  Filcfil 21696   fClus cfcls 21787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-fil 21697  df-fcls 21792
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator