MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclim 14491
Description: The limit relation is function-like, and with range the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fclim ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Proof of Theorem fclim
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 14430 . . . 4 Rel ⇝
2 climuni 14490 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
32ax-gen 1869 . . . . . 6 𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
43ax-gen 1869 . . . . 5 𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
54ax-gen 1869 . . . 4 𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
6 dffun2 6041 . . . 4 (Fun ⇝ ↔ (Rel ⇝ ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
71, 5, 6mpbir2an 682 . . 3 Fun ⇝
8 funfn 6061 . . 3 (Fun ⇝ ↔ ⇝ Fn dom ⇝ )
97, 8mpbi 220 . 2 ⇝ Fn dom ⇝
10 vex 3352 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1110elrn 5504 . . . 4 (𝑦 ∈ ran ⇝ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑦)
12 climcl 14437 . . . . 5 (𝑥𝑦𝑦 ∈ ℂ)
1312exlimiv 2009 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑦𝑦 ∈ ℂ)
1411, 13sylbi 207 . . 3 (𝑦 ∈ ran ⇝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1514ssriv 3754 . 2 ran ⇝ ⊆ ℂ
16 df-f 6035 . 2 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ ↔ ( ⇝ Fn dom ⇝ ∧ ran ⇝ ⊆ ℂ))
179, 15, 16mpbir2an 682 1 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wal 1628  wex 1851  wcel 2144  wss 3721   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  ran crn 5250  Rel wrel 5254  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  wf 6027  cc 10135  cli 14422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426
This theorem is referenced by:  climdm  14492  sum0  14659  sumz  14660  fsumsers  14666  isumclim  14695  isumcl  14699  ntrivcvgfvn0  14837  ntrivcvgtail  14838  zprodn0  14875  iprodclim  14934  iprodcl  14937
  Copyright terms: Public domain W3C validator