MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbssint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbssint 21623
Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssint ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fbssint
StepHypRef Expression
1 fbasne0 21615 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
2 n0 3923 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
4 ssv 3617 . . . . . . . 8 𝑥 ⊆ V
54jctr 564 . . . . . . 7 (𝑥𝐹 → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
65eximi 1760 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥𝐹 → ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
7 df-rex 2915 . . . . . 6 (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
86, 7sylibr 224 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V)
93, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V)
10 inteq 4469 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11 int0 4481 . . . . . . 7 ∅ = V
1210, 11syl6eq 2670 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = V)
1312sseq2d 3625 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑥 𝐴𝑥 ⊆ V))
1413rexbidv 3048 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V))
159, 14syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
16153ad2ant1 1080 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
17 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐵))
18 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐹)
19 simpr 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
21 elfir 8306 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
2217, 18, 19, 20, 21syl13anc 1326 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
23 fbssfi 21622 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
2417, 22, 23syl2anc 692 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
2524ex 450 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
2616, 25pm2.61dne 2877 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907   cint 4466  cfv 5876  Fincfn 7940  ficfi 8301  fBascfbas 19715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302  df-fbas 19724
This theorem is referenced by:  fbasfip  21653
  Copyright terms: Public domain W3C validator