Theorem fbdmn0 21860

Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbdmn0	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelfb 21857	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2		fveq2 6354	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
3	2	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
4	3	biimpd 219	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5		fbasne0 21856	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6		n0 4075	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
7	5, 6	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
8		fbelss 21859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9		ss0 4118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 = ∅)
11		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
12	10, 11	eqeltrrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
13	7, 12	exlimddv 2013	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
14	4, 13	syl6com 37	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
15	14	necon3bd 2947	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹 → 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059  ‘cfv 6050  fBascfbas 19957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-fbas 19966

This theorem is referenced by: (None)