Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftfva Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftfva 41907
 Description: The values of a shifted function correspond to the value of the original function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftfva ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑘,𝐹,𝑙,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝐸,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑙)

Proof of Theorem fargshiftfva
StepHypRef Expression
1 fz0add1fz1 12746 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
2 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
32adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
4 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
54fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))))
6 csbeq1 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → 𝑘 / 𝑥𝑃 = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)
75, 6eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
87adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
9 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110anim1i 602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
1211adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
13 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
1413ad3antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
15 fargshift.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1615fargshiftfv 41903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1716imp 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1817eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺𝑙))
1912, 14, 18syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺𝑙))
2019fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝐸‘(𝐺𝑙)))
2120eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
228, 21bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
233, 22rspcdv 3463 . . . . . . . . 9 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
2423ex 397 . . . . . . . 8 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
2524com23 86 . . . . . . 7 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
261, 25mpancom 668 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
2726ex 397 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))))
2827com24 95 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))))
2928imp31 404 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
3029ralrimiv 3114 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃) → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)
3130ex 397 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ⦋csb 3682   ↦ cmpt 4863  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  ℕ0cn0 11494  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator