Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf1 41702
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6139 . . 3 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸)
2 fargshift.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
32fargshiftf 41701 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41, 3sylan2 490 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5 ffn 6083 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
6 fseq1hash 13203 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (#‘𝐹) = 𝑁)
75, 6sylan2 490 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (#‘𝐹) = 𝑁)
81, 7sylan2 490 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → (#‘𝐹) = 𝑁)
9 eleq1 2718 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
10 oveq2 6698 . . . . . 6 ((#‘𝐹) = 𝑁 → (1...(#‘𝐹)) = (1...𝑁))
11 f1eq2 6135 . . . . . 6 ((1...(#‘𝐹)) = (1...𝑁) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 𝑁 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
139, 12anbi12d 747 . . . 4 ((#‘𝐹) = 𝑁 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸)))
14 dff13 6552 . . . . . 6 (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)))
15 fz0add1fz1 12577 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))
16 fz0add1fz1 12577 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))
1715, 16anim12dan 900 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))))
18 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
1918eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙)))
20 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝑘 = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = 𝑙))
2119, 20imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙)))
22 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑙) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
2322eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
24 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 + 1) = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)))
2523, 24imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2621, 25rspc2v 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
282fargshiftfv 41700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
2928expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3029com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3231impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
3332impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
342fargshiftfv 41700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3534expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3837impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3938impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
4033, 39eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
43 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4443zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4847zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑧 ∈ ℂ)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
51 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 1 ∈ ℂ)
5246, 50, 513jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
55 addcan2 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5756imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧)))
5857biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧))
5942, 58sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6059ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6127, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6261exp31 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6362com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6463imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6564com13 88 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6617, 65mpd 15 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6766expcom 450 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6867com13 88 . . . . . . 7 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6968ralrimdvv 3002 . . . . . 6 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7014, 69sylbi 207 . . . . 5 (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7170impcom 445 . . . 4 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7213, 71syl6bir 244 . . 3 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
738, 72mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74 dff13 6552 . 2 (𝐺:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
754, 73, 74sylanbrc 699 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  0cn0 11330  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator