Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf 41701
 Description: If a class is a function, then also its "shifted function" is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf
StepHypRef Expression
1 ffn 6083 . . . 4 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
2 fseq1hash 13203 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (#‘𝐹) = 𝑁)
31, 2sylan2 490 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (#‘𝐹) = 𝑁)
4 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ0))
5 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑁 = (#‘𝐹) → (1...𝑁) = (1...(#‘𝐹)))
65feq2d 6069 . . . . . 6 (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸))
74, 6anbi12d 747 . . . . 5 (𝑁 = (#‘𝐹) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
87eqcoms 2659 . . . 4 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
9 fz0add1fz1 12577 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑥 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))
10 ffvelrn 6397 . . . . . . . 8 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (𝑥 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
1110expcom 450 . . . . . . 7 ((𝑥 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1312impancom 455 . . . . 5 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1413ralrimiv 2994 . . . 4 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
158, 14syl6bi 243 . . 3 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
163, 15mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
17 fargshift.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1817fmpt 6421 . 2 (∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
1916, 18sylib 208 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℕ0cn0 11330  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158 This theorem is referenced by:  fargshiftf1  41702  fargshiftfo  41703
 Copyright terms: Public domain W3C validator