Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacp1 14980
 Description: The value of the falling factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem fallfacp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11514 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 1cnd 10268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
42, 3pncand 10605 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
54oveq2d 6830 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
65prodeq1d 14870 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴𝑘))
7 elnn0uz 11938 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87biimpi 206 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
98adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10 elfznn0 12646 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11565 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
12 subcl 10492 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1311, 12sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1413adantlr 753 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
15 oveq2 6822 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑁))
169, 14, 15fprodm1 14916 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) · (𝐴𝑁)))
176, 16eqtrd 2794 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) · (𝐴𝑁)))
18 peano2nn0 11545 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 fallfacval 14959 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴𝑘))
2018, 19sylan2 492 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴𝑘))
21 fallfacval 14959 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
2221oveq1d 6829 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) · (𝐴𝑁)))
2317, 20, 223eqtr4d 2804 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  ℕ0cn0 11504  ℤ≥cuz 11899  ...cfz 12539  ∏cprod 14854   FallFac cfallfac 14954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855  df-fallfac 14957 This theorem is referenced by:  fallfacp1d  14982  fallfac1  14984  fallfacfwd  14986  binomfallfaclem2  14990  bccp1k  39060  binomcxplemwb  39067
 Copyright terms: Public domain W3C validator