Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facwordi 13116
 Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑀𝑗𝑀 ≤ 0))
21anbi2d 740 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0)))
3 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
43breq2d 4697 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
52, 4imbi12d 333 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
76anbi2d 740 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘)))
8 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98breq2d 4697 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
107, 9imbi12d 333 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
1211anbi2d 740 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1413breq2d 4697 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
1512, 14imbi12d 333 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
1716anbi2d 740 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
18 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
1918breq2d 4697 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
2017, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21 nn0le0eq0 11359 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
2221biimpa 500 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
2322fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24 fac0 13103 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
25 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2624, 25eqeltri 2726 . . . . . 6 (!‘0) ∈ ℝ
2726leidi 10600 . . . . 5 (!‘0) ≤ (!‘0)
2823, 27syl6eqbr 4724 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29 impexp 461 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
31 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
32 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
34 leloe 10162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
3530, 33, 34syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36 nn0leltp1 11474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
37 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3837nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
3937nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
4039nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
41 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4241nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
4338, 33, 40, 42lemulge11d 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
44 facp1 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4543, 44breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
47 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4847nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5038adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
5251faccld 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5352nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
55 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5746, 56mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5857imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6036, 59sylbird 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
61 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
6248leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
63 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6462, 63syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6561, 64syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6766a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6860, 67jaod 394 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6935, 68sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7069ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7170com13 88 . . . . . . . 8 (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7271com4l 92 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7372a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7473imp4a 613 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7529, 74syl5bi 232 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
765, 10, 15, 20, 28, 75nn0ind 11510 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
77763impib 1281 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
78773com12 1288 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕ0cn0 11330  !cfa 13100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-fac 13101 This theorem is referenced by:  facavg  13128  aaliou3lem6  24148
 Copyright terms: Public domain W3C validator