Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facubnd 13281
 Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . 4 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2 fac0 13257 . . . 4 (!‘0) = 1
31, 2syl6eq 2810 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4 id 22 . . . . 5 (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
54, 4oveq12d 6831 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = (0↑0))
6 0exp0e1 13059 . . . 4 (0↑0) = 1
75, 6syl6eq 2810 . . 3 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = 1)
83, 7breq12d 4817 . 2 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9 fveq2 6352 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10 id 22 . . . 4 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
1110, 10oveq12d 6831 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚𝑚) = (𝑘𝑘))
129, 11breq12d 4817 . 2 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)))
13 fveq2 6352 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14 id 22 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
1514, 14oveq12d 6831 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1613, 15breq12d 4817 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17 fveq2 6352 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18 id 22 . . . 4 (𝑚 = 𝑁𝑚 = 𝑁)
1918, 18oveq12d 6831 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑚) = (𝑁𝑁))
2017, 19breq12d 4817 . 2 (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
21 1le1 10847 . 2 1 ≤ 1
22 faccl 13264 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2423nnred 11227 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25 nn0re 11493 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
2625adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2826, 27reexpcld 13219 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ∈ ℝ)
29 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3029adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3130nnred 11227 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3231, 27reexpcld 13219 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘))
34 nn0ge0 11510 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
3626lep1d 11147 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37 leexp1a 13113 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1485 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3924, 28, 32, 33, 38letrd 10386 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
4030nngt0d 11256 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41 lemul1 11067 . . . . . 6 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1481 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4339, 42mpbid 222 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44 facp1 13259 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4544adantr 472 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4630nncnd 11228 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4746, 27expp1d 13203 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
4843, 45, 473brtr4d 4836 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
4948ex 449 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 11664 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ↑cexp 13054  !cfa 13254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255 This theorem is referenced by:  logfacubnd  25145  pgrple2abl  42656
 Copyright terms: Public domain W3C validator