Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem3 31969
 Description: Lemma for faclim 31970. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 12039 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3 nnrp 12045 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpreccld 12085 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
54adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
62, 5rpaddcld 12090 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
76rpcnd 12077 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8 simpl 468 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97, 8expp1d 13216 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
1110, 4rpaddcld 12090 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12 nn0z 11602 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
13 rpexpcl 13086 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2anr 584 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1514rpcnd 12077 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16 1cnd 10258 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17 nn0nndivcl 11564 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817recnd 10270 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 10440 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20 nn0ge0div 11648 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
2117, 20ge0p1rpd 12105 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
2219, 21eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rpcnd 12077 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
2422rpne0d 12080 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
2515, 23, 24divcan1d 11004 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
2625oveq1d 6808 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
2714, 22rpdivcld 12092 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 12077 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
2928, 23, 7mulassd 10265 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
309, 26, 293eqtr2d 2811 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
3130oveq1d 6808 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
3222, 6rpmulcld 12091 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 12077 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34 nn0p1nn 11534 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3534nnrpd 12073 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
3635adantr 466 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
373adantl 467 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3836, 37rpdivcld 12092 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
392, 38rpaddcld 12090 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
4039rpcnd 12077 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
4139rpne0d 12080 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
4228, 33, 40, 41divassd 11038 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
4331, 42eqtrd 2805 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   / cdiv 10886  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579  ℝ+crp 12035  ↑cexp 13067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068 This theorem is referenced by:  faclim  31970
 Copyright terms: Public domain W3C validator