Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd5 13279
 Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider 𝐾 and 𝑀 to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 𝑁-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 11493 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 reexpcl 13071 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
31, 2sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
43ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
5 nnre 11219 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6 reexpcl 13071 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
75, 6sylan 489 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
8 remulcl 10213 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
94, 7, 8syl2an 495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
109anandirs 909 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
11 2nn 11377 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
12 nn0sqcl 13081 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
1411, 12, 13sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
15 nnnn0 11491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0addcl 11520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
1716ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
1815, 17sylan2 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
19 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
2018, 19sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
2120anabss7 897 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
22 nnmulcl 11235 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
2314, 21, 22syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
2423anabss5 892 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
2524nnred 11227 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ)
26 faccl 13264 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2726nnred 11227 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
28 remulcl 10213 . . . . . 6 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2925, 27, 28syl2an 495 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
30 2re 11282 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
31 remulcl 10213 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
3230, 29, 31sylancr 698 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
33 faclbnd4 13278 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
3415, 33syl3an3 1170 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
35343coml 1122 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
36353expa 1112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
37 1lt2 11386 . . . . . 6 1 < 2
38 nnmulcl 11235 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
3924, 26, 38syl2an 495 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4039nngt0d 11256 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
41 ltmulgt12 11076 . . . . . . . 8 (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
4230, 41mp3an2 1561 . . . . . . 7 (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
4329, 40, 42syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
4437, 43mpbii 223 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
4510, 29, 32, 36, 44lelttrd 10387 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
4624nncnd 11228 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
4726nncnd 11228 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48 2cn 11283 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
49 mulass 10216 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
5048, 49mp3an1 1560 . . . . 5 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
5146, 47, 50syl2an 495 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
5245, 51breqtrrd 4832 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
53523impa 1101 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
54533comr 1120 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ↑cexp 13054  !cfa 13254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator