MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem3 13122
Description: Lemma for faclbnd4 13124. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 0exp 12935 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4 nnnn0 11337 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6 nn0sqcl 12927 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7 nn0expcl 12914 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 11366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0expcl 12914 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
1210, 11syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
139, 12nn0mulcld 11394 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
144, 13sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11392 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
163, 15eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17 1nn 11069 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
18 elnn0 11332 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
21 nn0addcl 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
2219, 20, 21sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
2422, 23mpdan 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27 00id 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
2826, 27syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
2925, 28oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30 0exp0e1 12905 . . . . . . . . . . . . . 14 (0↑0) = 1
3129, 30syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
3231, 17syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3324, 32jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3418, 33sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35 nnmulcl 11081 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3617, 34, 35sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3736nnge1d 11101 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
4039, 30syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41 sq0i 12996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
4241oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
44 exp0 12904 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2↑0) = 1
4642, 45syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
4847oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
4946, 48oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
5040, 49breq12d 4698 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5238, 51mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
5316, 52jaodan 843 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
541, 53sylan2b 491 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55 nn0cn 11340 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
5655exp0d 13042 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
5756oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58 nn0expcl 12914 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
5920, 58mpan 706 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 11391 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
6160mulid1d 10095 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
6257, 61sylan9eq 2705 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
6313nn0cnd 11391 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
6463mulid1d 10095 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
6554, 62, 643brtr4d 4717 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
6665adantr 480 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾) = (0↑𝐾))
68 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑0))
6967, 68oveq12d 6708 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71 fac0 13103 . . . . . 6 (!‘0) = 1
7270, 71syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
7372oveq2d 6706 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
7469, 73breq12d 4698 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7574adantl 481 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7666, 75mpbird 247 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cexp 12900  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13123  faclbnd4  13124
  Copyright terms: Public domain W3C validator