MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem2 13284
Description: Lemma for faclbnd4 13287. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 13283 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6799 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)))
21oveq2d 6808 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1))
4 oveq1 6799 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))
53, 4oveq12d 6810 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)))
65oveq2d 6808 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))))
76oveq1d 6807 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))))
82, 7breq12d 4797 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
9 oveq1 6799 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁))
109oveq2d 6808 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
11 oveq1 6799 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))
123, 11oveq12d 6810 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))))
1312oveq2d 6808 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))))
1413oveq1d 6807 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
1510, 14breq12d 4797 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))
168, 15imbi12d 333 . 2 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))))
17 oveq2 6800 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁 − 1)↑𝐾) = ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
1817oveq1d 6807 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
19 oveq1 6799 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾↑2) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2))
2019oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)))
21 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
2221oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1))))
2320, 22oveq12d 6810 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) = ((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))))
2423oveq1d 6807 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))))
2518, 24breq12d 4797 . . 3 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
26 oveq1 6799 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾 + 1) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))
2726oveq2d 6808 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
2827oveq1d 6807 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
2926oveq1d 6807 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝐾 + 1)↑2) = ((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2))
3029oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑((𝐾 + 1)↑2)) = (2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)))
3126oveq2d 6808 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
3231oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))))
3330, 32oveq12d 6810 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))))
3433oveq1d 6807 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))
3528, 34breq12d 4797 . . 3 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))))
3625, 35imbi12d 333 . 2 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))))
37 oveq1 6799 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 − 1) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))
3837oveq1d 6807 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
3937oveq2d 6808 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
4038, 39oveq12d 6810 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
41 fvoveq1 6815 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
4241oveq2d 6808 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
4340, 42breq12d 4797 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))))
44 oveq1 6799 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
45 oveq2 6800 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
4644, 45oveq12d 6810 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
47 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘𝑁) = (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
4847oveq2d 6808 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
4946, 48breq12d 4797 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))))
5043, 49imbi12d 333 . 2 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))))
51 1nn 11232 . . . 4 1 ∈ ℕ
5251elimel 4287 . . 3 if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
53 1nn0 11509 . . . 4 1 ∈ ℕ0
5453elimel 4287 . . 3 if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) ∈ ℕ0
5553elimel 4287 . . 3 if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) ∈ ℕ0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 13283 . 2 ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
5716, 36, 50, 56dedth3h 4278 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cexp 13066  !cfa 13263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13286
  Copyright terms: Public domain W3C validator