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Theorem faclbnd4lem1 13120
Description: Lemma for faclbnd4 13124. Prepare the induction step. (Contributed by NM, 20-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
faclbnd4lem1.1 𝑁 ∈ ℕ
faclbnd4lem1.2 𝐾 ∈ ℕ0
faclbnd4lem1.3 𝑀 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem1 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem1
StepHypRef Expression
1 faclbnd4lem1.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
21nnrei 11067 . . 3 𝑁 ∈ ℝ
3 1re 10077 . . 3 1 ∈ ℝ
4 lelttric 10182 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑁))
52, 3, 4mp2an 708 . 2 (𝑁 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑁)
6 nnge1 11084 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝑁
82, 3letri3i 10191 . . . . . 6 (𝑁 = 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑁))
97, 8mpbiran2 974 . . . . 5 (𝑁 = 1 ↔ 𝑁 ≤ 1)
10 0le1 10589 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
113, 10pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
12 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
13 faclbnd4lem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ ℕ0
14 1nn 11069 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
15 nn0nnaddcl 11362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
1613, 14, 15mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 + 1) ∈ ℕ
1716nnnn0i 11338 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 + 1) ∈ ℕ0
18 2nn0 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
1917, 18nn0expcli 12926 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℕ0
20 reexpcl 12917 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℕ0) → (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ)
2112, 19, 20mp2an 708 . . . . . . . . 9 (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ
2211, 21pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ)
23 faclbnd4lem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11341 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ ℝ
2523nn0ge0i 11358 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 𝑀
2624, 25pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀)
27 nn0nnaddcl 11362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ ℕ)
2823, 16, 27mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ ℕ
2928nnnn0i 11338 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ ℕ0
3023, 29nn0expcli 12926 . . . . . . . . . 10 (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℕ0
3130nn0rei 11341 . . . . . . . . 9 (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ
3226, 31pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
3322, 32pm3.2i 470 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ))
34 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
35 exp0 12904 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
37 1le2 11279 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 2
38 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
3919, 38eleqtri 2728 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘0)
40 leexp2a 12956 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘0)) → (2↑0) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)))
4112, 37, 39, 40mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (2↑0) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
4236, 41eqbrtrri 4708 . . . . . . . 8 1 ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
43 elnn0 11332 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
44 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4544exp1d 13043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) = 𝑀)
46 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
47 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
4828, 47eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ (ℤ‘1)
49 leexp2a 12956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ (ℤ‘1)) → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5024, 48, 49mp3an13 1455 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≤ 𝑀 → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5245, 51eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5330nn0ge0i 11358 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
54 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ↔ 0 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))))
5553, 54mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5652, 55jaoi 393 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5743, 56sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5823, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
5942, 58pm3.2i 470 . . . . . . 7 (1 ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
60 lemul12a 10919 . . . . . . 7 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) → (1 · 𝑀) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))))
6133, 59, 60mp2 9 . . . . . 6 (1 · 𝑀) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
62 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = (1↑(𝐾 + 1)))
6316nnzi 11439 . . . . . . . . . 10 (𝐾 + 1) ∈ ℤ
64 1exp 12929 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝐾 + 1)) = 1)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1↑(𝐾 + 1)) = 1
6662, 65syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = 1)
67 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑1))
6823nn0cni 11342 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ ℂ
69 exp1 12906 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑1) = 𝑀)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑀↑1) = 𝑀
7167, 70syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑀𝑁) = 𝑀)
7266, 71oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = (1 · 𝑀))
73 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
74 fac1 13104 . . . . . . . . . 10 (!‘1) = 1
7573, 74syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
7675oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · 1))
7721recni 10090 . . . . . . . . . 10 (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℂ
7830nn0cni 11342 . . . . . . . . . 10 (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℂ
7977, 78mulcli 10083 . . . . . . . . 9 ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ
8079mulid1i 10080 . . . . . . . 8 (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · 1) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
8176, 80syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))))
8272, 81breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ (1 · 𝑀) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))))
8361, 82mpbiri 248 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
849, 83sylbir 225 . . . 4 (𝑁 ≤ 1 → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
8584adantr 480 . . 3 ((𝑁 ≤ 1 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
86 reexpcl 12917 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
872, 17, 86mp2an 708 . . . . . . 7 (𝑁↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ
881nnnn0i 11338 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ0
89 reexpcl 12917 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
9024, 88, 89mp2an 708 . . . . . . 7 (𝑀𝑁) ∈ ℝ
9187, 90remulcli 10092 . . . . . 6 ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
9313, 18nn0expcli 12926 . . . . . . . . 9 (𝐾↑2) ∈ ℕ0
94 reexpcl 12917 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℝ)
9512, 93, 94mp2an 708 . . . . . . . 8 (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℝ
9618, 13nn0expcli 12926 . . . . . . . . 9 (2↑𝐾) ∈ ℕ0
9796nn0rei 11341 . . . . . . . 8 (2↑𝐾) ∈ ℝ
9895, 97remulcli 10092 . . . . . . 7 ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℝ
99 faccl 13110 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10088, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘𝑁) ∈ ℕ
101100nnnn0i 11338 . . . . . . . . 9 (!‘𝑁) ∈ ℕ0
10230, 101nn0mulcli 11369 . . . . . . . 8 ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ0
103102nn0rei 11341 . . . . . . 7 ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ
10498, 103remulcli 10092 . . . . . 6 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
10621, 103remulcli 10092 . . . . . 6 ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ
107106a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
1081nncni 11068 . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℂ
109 expp1 12907 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = ((𝑁𝐾) · 𝑁))
110108, 13, 109mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝑁↑(𝐾 + 1)) = ((𝑁𝐾) · 𝑁)
111 expm1t 12928 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁) = ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
11268, 1, 111mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁) = ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)
113110, 112oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = (((𝑁𝐾) · 𝑁) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
114 reexpcl 12917 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
1152, 13, 114mp2an 708 . . . . . . . . 9 (𝑁𝐾) ∈ ℝ
116115recni 10090 . . . . . . . 8 (𝑁𝐾) ∈ ℂ
117 elnnnn0 11374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
1181, 117mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
119118simpri 477 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 1) ∈ ℕ0
12023, 119nn0expcli 12926 . . . . . . . . . 10 (𝑀↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0
121120, 23nn0mulcli 11369 . . . . . . . . 9 ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀) ∈ ℕ0
122121nn0cni 11342 . . . . . . . 8 ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀) ∈ ℂ
123116, 108, 122mulassi 10087 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) · 𝑁) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) = ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
124113, 123eqtri 2673 . . . . . 6 ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
12588, 121nn0mulcli 11369 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℕ0
126125nn0rei 11341 . . . . . . . . . 10 (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ
127115, 126remulcli 10092 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ∈ ℝ
128127a1i 11 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ∈ ℝ)
129119nn0rei 11341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) ∈ ℝ
130 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1)↑𝐾) ∈ ℝ)
131129, 13, 130mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1)↑𝐾) ∈ ℝ
132120nn0rei 11341 . . . . . . . . . . 11 (𝑀↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ
133131, 132remulcli 10092 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ
13496, 88nn0mulcli 11369 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐾) · 𝑁) ∈ ℕ0
135134, 23nn0mulcli 11369 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℕ0
136135nn0rei 11341 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ
137133, 136remulcli 10092 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ
138137a1i 11 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ)
13923, 13nn0addcli 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0
140 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℝ)
14124, 139, 140mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℝ
14295, 141remulcli 10092 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ
143 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
144119, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ
145144nnrei 11067 . . . . . . . . . . 11 (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ
146142, 145remulcli 10092 . . . . . . . . . 10 (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ∈ ℝ
147146, 136remulcli 10092 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ)
14997, 131remulcli 10092 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) ∈ ℝ
150125nn0ge0i 11358 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
151126, 150pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
152115, 149, 1513pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))))
153 nnltp1le 11471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
15414, 1, 153mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
155 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
156155breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
157154, 156bitr4i 267 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
158 expubnd 12961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)))
1592, 13, 158mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . 12 (2 ≤ 𝑁 → (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)))
160157, 159sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (1 < 𝑁 → (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)))
161 lemul1a 10915 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))) ∧ (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))))
162152, 160, 161sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (1 < 𝑁 → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))))
16396nn0cni 11342 . . . . . . . . . . . 12 (2↑𝐾) ∈ ℂ
164131recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1)↑𝐾) ∈ ℂ
165163, 164, 108, 122mul4i 10271 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) = (((2↑𝐾) · 𝑁) · (((𝑁 − 1)↑𝐾) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
166120nn0cni 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ
167164, 166, 68mulassi 10087 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · 𝑀) = (((𝑁 − 1)↑𝐾) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
168167oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · 𝑁) · ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · 𝑀)) = (((2↑𝐾) · 𝑁) · (((𝑁 − 1)↑𝐾) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
169134nn0cni 11342 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
170133recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ
171169, 170, 68mul12i 10269 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · 𝑁) · ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · 𝑀)) = ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))
172165, 168, 1713eqtr2i 2679 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) = ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))
173162, 172syl6breq 4726 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑁 → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
174173adantr 480 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
175135nn0ge0i 11358 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)
176136, 175pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))
177133, 146, 1763pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ ((((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
178 lemul1a 10915 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ ((((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))) ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
179177, 178mpan 706 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
180179adantl 481 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
181128, 138, 148, 174, 180letrd 10232 . . . . . . 7 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
182163, 108, 68mul32i 10270 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) = (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁)
183182oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁))
184 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑀 + 𝐾) + 1)) = ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀))
18568, 139, 184mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀↑((𝑀 + 𝐾) + 1)) = ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀)
18613nn0cni 11342 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ ℂ
187 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
18868, 186, 187addassi 10086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 + 𝐾) + 1) = (𝑀 + (𝐾 + 1))
189188oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀↑((𝑀 + 𝐾) + 1)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
190185, 189eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀) = (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
191190oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
19295recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℂ
193141recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℂ
194192, 163, 193, 68mul4i 10271 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀))
195191, 194eqtr3i 2675 . . . . . . . . . 10 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀))
196 facnn2 13109 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
1971, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)
198195, 197oveq12i 6702 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀)) · ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
199142recni 10090 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ
200144nncni 11068 . . . . . . . . . 10 (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ
201163, 68mulcli 10083 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝐾) · 𝑀) ∈ ℂ
202199, 200, 201, 108mul4i 10271 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀)) · ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
203198, 202eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 ((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁))
20498recni 10090 . . . . . . . . 9 ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℂ
205100nncni 11068 . . . . . . . . 9 (!‘𝑁) ∈ ℂ
206204, 78, 205mulassi 10087 . . . . . . . 8 ((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
207183, 203, 2063eqtr2i 2679 . . . . . . 7 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
208181, 207syl6breq 4726 . . . . . 6 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
209124, 208syl5eqbr 4720 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
210102nn0ge0i 11358 . . . . . . . . 9 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))
211103, 210pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
21298, 21, 2113pm3.2i 1259 . . . . . . 7 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
213 expadd 12942 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) = ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)))
21434, 93, 13, 213mp3an 1464 . . . . . . . 8 (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) = ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾))
21519nn0zi 11440 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℤ
21613nn0rei 11341 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ ℝ
21716nnrei 11067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 + 1) ∈ ℝ
21817nn0ge0i 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (𝐾 + 1)
219217, 218pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 + 1))
220216, 217, 2193pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 + 1)))
221216ltp1i 10965 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 < (𝐾 + 1)
222216, 217, 221ltleii 10198 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)
223 lemul1a 10915 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 + 1))) ∧ 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 · (𝐾 + 1)) ≤ ((𝐾 + 1) · (𝐾 + 1)))
224220, 222, 223mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · (𝐾 + 1)) ≤ ((𝐾 + 1) · (𝐾 + 1))
225186sqvali 12983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
226186mulid1i 10080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 · 1) = 𝐾
227226eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐾 · 1)
228225, 227oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾↑2) + 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (𝐾 · 1))
229186, 186, 187adddii 10088 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 · (𝐾 + 1)) = ((𝐾 · 𝐾) + (𝐾 · 1))
230228, 229eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) + 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 + 1))
23116nncni 11068 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 + 1) ∈ ℂ
232231sqvali 12983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 + 1)↑2) = ((𝐾 + 1) · (𝐾 + 1))
233224, 230, 2323brtr4i 4715 . . . . . . . . . 10 ((𝐾↑2) + 𝐾) ≤ ((𝐾 + 1)↑2)
23493, 13nn0addcli 11368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾↑2) + 𝐾) ∈ ℕ0
235234nn0zi 11440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) + 𝐾) ∈ ℤ
236235eluz1i 11733 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘((𝐾↑2) + 𝐾)) ↔ (((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑2) + 𝐾) ≤ ((𝐾 + 1)↑2)))
237215, 233, 236mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘((𝐾↑2) + 𝐾))
238 leexp2a 12956 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘((𝐾↑2) + 𝐾))) → (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)))
23912, 37, 237, 238mp3an 1464 . . . . . . . 8 (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
240214, 239eqbrtrri 4708 . . . . . . 7 ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
241 lemul1a 10915 . . . . . . 7 (((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))) ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))) → (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
242212, 240, 241mp2an 708 . . . . . 6 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
243242a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
24492, 105, 107, 209, 243letrd 10232 . . . 4 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
24577, 78, 205mulassi 10087 . . . 4 (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
246244, 245syl6breqr 4727 . . 3 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
24785, 246jaoian 841 . 2 (((𝑁 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑁) ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
2485, 247mpan 706 1 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cexp 12900  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem2  13121
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