MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 13243
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 13125 . . . . . 6 (2↑2) = 4
2 2t2e4 11340 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
31, 2eqtr4i 2773 . . . . 5 (2↑2) = (2 · 2)
43oveq2i 6812 . . . 4 ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5 2cn 11254 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6 expp1 13032 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
75, 6mpan 708 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
87oveq1d 6816 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
94, 8syl5eq 2794 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10 expcl 13043 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
115, 10mpan 708 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12 2cnne0 11405 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
13 divmuldiv 10888 . . . . 5 ((((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
1412, 12, 13mpanr12 723 . . . 4 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
1511, 5, 14sylancl 697 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16 2div2e1 11313 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 6812 . . . 4 (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
1811halfcld 11440 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
1918mulid1d 10220 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
2017, 19syl5eq 2794 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2789 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22 2nn0 11472 . . . 4 2 ∈ ℕ0
23 faclbnd 13242 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
2422, 23mpan 708 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25 2re 11253 . . . . 5 2 ∈ ℝ
26 peano2nn0 11496 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27 reexpcl 13042 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27sylancr 698 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 faccl 13235 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnred 11198 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31 4re 11260 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
321, 31eqeltri 2823 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℝ
33 4pos 11279 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 4819 . . . . . 6 0 < (2↑2)
3532, 34pm3.2i 470 . . . . 5 ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36 ledivmul 11062 . . . . 5 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3735, 36mp3an3 1550 . . . 4 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3828, 30, 37syl2anc 696 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3924, 38mpbird 247 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
4021, 39eqbrtrd 4814 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238   / cdiv 10847  2c2 11233  4c4 11235  0cn0 11455  cexp 13025  !cfa 13225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226
This theorem is referenced by:  ege2le3  14990
  Copyright terms: Public domain W3C validator