Theorem faccl 13264

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6352	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3		fveq2 6352	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
4	3	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5		fveq2 6352	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
6	5	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7		fveq2 6352	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
8	7	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9		fac0 13257	. . 3 ⊢ (!‘0) = 1
10		1nn 11223	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	9, 10	eqeltri 2835	. 2 ⊢ (!‘0) ∈ ℕ
12		facp1 13259	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
13	12	adantl 473	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14		nn0p1nn 11524	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15		nnmulcl 11235	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
16	14, 15	sylan2 492	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
17	13, 16	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
18	17	expcom 450	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 11664	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  ℕcn 11212  ℕ₀cn0 11484  !cfa 13254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-fac 13255

This theorem is referenced by:  faccld  13265  facmapnn  13266  facne0  13267  facdiv  13268  facndiv  13269  facwordi  13270  faclbnd  13271  faclbnd2  13272  faclbnd3  13273  faclbnd4lem1  13274  faclbnd5  13279  faclbnd6  13280  facubnd  13281  facavg  13282  bcrpcl  13289  bccmpl  13290  bcn0  13291  bcn1  13294  bcm1k  13296  bcval5  13299  permnn  13307  4bc2eq6  13310  hashf1  13433  hashfac  13434  bcfallfac  14974  fallfacfac  14975  eftcl  15003  reeftcl  15004  eftabs  15005  efcllem  15007  ef0lem  15008  ege2le3  15019  efcj  15021  efaddlem  15022  eftlub  15038  effsumlt  15040  eflegeo  15050  ef01bndlem  15113  eirrlem  15131  dvdsfac  15250  lcmflefac  15563  prmfac1  15633  pcfac  15805  pcbc  15806  infpnlem1  15816  infpnlem2  15817  prmunb  15820  prmgaplem1  15955  prmgaplem2  15956  gexcl3  18202  aaliou3lem1  24296  aaliou3lem2  24297  aaliou3lem3  24298  aaliou3lem8  24299  aaliou3lem5  24301  aaliou3lem6  24302  aaliou3lem7  24303  aaliou3lem9  24304  taylfvallem1  24310  taylply2  24321  taylply  24322  dvtaylp  24323  taylthlem2  24327  advlogexp  24600  birthdaylem2  24878  wilthlem3  24995  wilth  24996  chtublem  25135  logfacubnd  25145  logfaclbnd  25146  logfacbnd3  25147  logfacrlim  25148  logexprlim  25149  bcmono  25201  bposlem3  25210  vmadivsum  25370  subfacval2  31476  subfaclim  31477  subfacval3  31478  bcprod  31931  faclim2  31941  bcccl  39040  bcc0  39041  bccp1k  39042  binomcxplemwb  39049  dvnxpaek  40660  wallispi2lem2  40792  stirlinglem2  40795  stirlinglem3  40796  stirlinglem4  40797  stirlinglem13  40806  stirlinglem14  40807  stirlinglem15  40808  stirlingr  40810  pgrple2abl  42656