Theorem fac3 13270

Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac3	⊢ (!‘3) = 6

Proof of Theorem fac3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11281	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 6335	. 2 ⊢ (!‘3) = (!‘(2 + 1))
3		2nn0 11510	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		facp1 13268	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1))
6		fac2 13269	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
7		2p1e3 11352	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
8	6, 7	oveq12i 6804	. . 3 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = (2 · 3)
9		2cn 11292	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3cn 11296	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
11	9, 10	mulcomi 10247	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
12		3t2e6 11380	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
13	8, 11, 12	3eqtri 2796	. 2 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = 6
14	2, 5, 13	3eqtri 2796	1 ⊢ (!‘3) = 6

Syntax hints:   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  2c2 11271  3c3 11272  6c6 11275  ℕ₀cn0 11493  !cfa 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-fac 13264

This theorem is referenced by:  fac4  13271  4bc2eq6  13319  ef4p  15048  ef01bndlem  15119