Theorem f1rhm0to0ALT 18951

Description: Alternate proof for f1rhm0to0 18950. Using ghmf1 17897 does not make the proof shorter and requires disjoint variable restrictions! (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1rhm0to0.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
f1rhm0to0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
f1rhm0to0.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
f1rhm0to0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1rhm0to0ALT	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0ALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 18935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		f1rhm0to0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
4		f1rhm0to0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		f1rhm0to0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		f1rhm0to0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
7	3, 4, 5, 6	ghmf1 17897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 )))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 )))
9		fveq2 6332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
10	9	eqeq1d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
11		eqeq1 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
12	10, 11	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
13	12	rspcv 3456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
14	13	adantl 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
15	8, 14	sylbid 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
16	15	ex 397	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))))
17	16	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))))
18	17	3imp 1101	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))
19		fveq2 6332	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ))
20	5, 6	ghmid 17874	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
22	21	3ad2ant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
23	19, 22	sylan9eqr 2827	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹‘𝑋) = 𝑁)
24	23	ex 397	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
25	18, 24	impbid 202	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  –1-1→wf1 6028  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  0_gc0g 16308   GrpHom cghm 17865   RingHom crh 18922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925

This theorem is referenced by: (None)