Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1rhm0to0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1rhm0to0ALT 18951
 Description: Alternate proof for f1rhm0to0 18950. Using ghmf1 17897 does not make the proof shorter and requires disjoint variable restrictions! (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
f1rhm0to0.a 𝐴 = (Base‘𝑅)
f1rhm0to0.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
f1rhm0to0.n 𝑁 = (0g𝑆)
f1rhm0to0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
f1rhm0to0ALT ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0ALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmghm 18935 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
21adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3 f1rhm0to0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Base‘𝑅)
4 f1rhm0to0.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 f1rhm0to0.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
6 f1rhm0to0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (0g𝑆)
73, 4, 5, 6ghmf1 17897 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 )))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 )))
9 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
109eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 𝑁 ↔ (𝐹𝑋) = 𝑁))
11 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0𝑋 = 0 ))
1210, 11imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
1312rspcv 3456 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 ) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
1413adantl 467 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 ) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
158, 14sylbid 230 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
1615ex 397 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑋𝐴 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))))
1716com23 86 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝑋𝐴 → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))))
18173imp 1101 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
19 fveq2 6332 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝐹𝑋) = (𝐹0 ))
205, 6ghmid 17874 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = 𝑁)
211, 20syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹0 ) = 𝑁)
22213ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → (𝐹0 ) = 𝑁)
2319, 22sylan9eqr 2827 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹𝑋) = 𝑁)
2423ex 397 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑁))
2518, 24impbid 202 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  –1-1→wf1 6028  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  0gc0g 16308   GrpHom cghm 17865   RingHom crh 18922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator