Theorem f1rhm0to0 18962

Description: If a ring homomorphism 𝐹 is injective, it maps the zero of one ring (and only the zero) to the zero of the other ring. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1rhm0to0.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
f1rhm0to0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
f1rhm0to0.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
f1rhm0to0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1rhm0to0	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 18947	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		f1rhm0to0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		f1rhm0to0.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
4	2, 3	ghmid 17887	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
6	5	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
7	6	eqeq2d 2770	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
8		simp2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
9		simp3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		rhmrcl1 18941	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
11		f1rhm0to0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
12	11, 2	ring0cl 18789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐴)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 0 ∈ 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐴)
15		f1veqaeq 6678	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ) → 𝑋 = 0 ))
16	8, 9, 14, 15	syl12anc 1475	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ) → 𝑋 = 0 ))
17	7, 16	sylbird 250	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))
18		fveq2 6353	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ))
19	18, 6	sylan9eqr 2816	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹‘𝑋) = 𝑁)
20	19	ex 449	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
21	17, 20	impbid 202	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  –1-1→wf1 6046  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  0_gc0g 16322   GrpHom cghm 17878  Ringcrg 18767   RingHom crh 18934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-rnghom 18937

This theorem is referenced by:  rim0to0  18964  kerf1hrm  18965