MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oun2prg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oun2prg 13870
Description: A union of unordered pairs of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
f1oun2prg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))

Proof of Theorem f1oun2prg
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
2 0z 11589 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
31, 2jctil 503 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
43ad2antrr 697 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
5 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
6 1z 11608 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
75, 6jctil 503 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
87ad2antrr 697 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
94, 8jca 495 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)))
10 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
11103ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐵)
12 0ne1 11289 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1311, 12jctil 503 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1413adantr 466 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1514adantl 467 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
16 f1oprg 6322 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
179, 15, 16sylc 65 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
18 simpl 468 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐶𝑋)
19 2nn 11386 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2018, 19jctil 503 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
2120adantl 467 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
22 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐷𝑌)
23 3nn 11387 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
2422, 23jctil 503 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2524adantl 467 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2621, 25jca 495 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
2726adantr 466 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
29283ad2ant3 1128 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
30 2re 11291 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
31 2lt3 11396 . . . . . . . 8 2 < 3
3230, 31ltneii 10351 . . . . . . 7 2 ≠ 3
3329, 32jctil 503 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3433adantl 467 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3534adantl 467 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
36 f1oprg 6322 . . . 4 (((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)) → ((2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}))
3727, 35, 36sylc 65 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷})
38 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
39383ad2ant2 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
40 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41403ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4239, 41anim12i 592 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4342adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
44 df-pr 4317 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4544ineq1i 3959 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
4645eqeq1i 2775 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
47 undisj1 4170 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
4846, 47bitr4i 267 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4943, 48sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
50 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
51503ad2ant3 1128 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
52 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
53523ad2ant2 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5451, 53anim12i 592 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5554adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5644ineq1i 3959 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
5756eqeq1i 2775 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
58 undisj1 4170 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
5957, 58bitr4i 267 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
6055, 59sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
6149, 60jca 495 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
62 undisj2 4171 . . . . . 6 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
63 df-pr 4317 . . . . . . . . 9 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
6463eqcomi 2779 . . . . . . . 8 ({𝐶} ∪ {𝐷}) = {𝐶, 𝐷}
6564ineq2i 3960 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷})
6665eqeq1i 2775 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅ ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6762, 66bitri 264 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6861, 67sylib 208 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
69 df-pr 4317 . . . . . . . . 9 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
7069eqcomi 2779 . . . . . . . 8 ({0} ∪ {1}) = {0, 1}
7170ineq1i 3959 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ({0, 1} ∩ {2})
72 0ne2 11440 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
73 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 2 → ({0} ∩ {2}) = ∅)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {2}) = ∅
75 1ne2 11441 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
76 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({1} ∩ {2}) = ∅)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {2}) = ∅
7874, 77pm3.2i 447 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅)
79 undisj1 4170 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅)
8078, 79mpbi 220 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅
8171, 80eqtr3i 2794 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
8270ineq1i 3959 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ({0, 1} ∩ {3})
83 3ne0 11316 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
8483necomi 2996 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 3
85 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 3 → ({0} ∩ {3}) = ∅)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {3}) = ∅
87 1re 10240 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
88 1lt3 11397 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
8987, 88ltneii 10351 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
90 disjsn2 4382 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 3 → ({1} ∩ {3}) = ∅)
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {3}) = ∅
9286, 91pm3.2i 447 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅)
93 undisj1 4170 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅)
9492, 93mpbi 220 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅
9582, 94eqtr3i 2794 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {3}) = ∅
9681, 95pm3.2i 447 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅)
97 undisj2 4171 . . . . . 6 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅)
98 df-pr 4317 . . . . . . . . 9 {2, 3} = ({2} ∪ {3})
9998eqcomi 2779 . . . . . . . 8 ({2} ∪ {3}) = {2, 3}
10099ineq2i 3960 . . . . . . 7 ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ({0, 1} ∩ {2, 3})
101100eqeq1i 2775 . . . . . 6 (({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅ ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10297, 101bitri 264 . . . . 5 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10396, 102mpbi 220 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
10468, 103jctil 503 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅))
105 f1oun 6297 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}) ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
10617, 37, 104, 105syl21anc 1474 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
107106ex 397 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  cun 3719  cin 3720  c0 4061  {csn 4314  {cpr 4316  cop 4320  1-1-ontowf1o 6030  0cc0 10137  1c1 10138  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  cz 11578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-z 11579
This theorem is referenced by:  s4f1o  13871
  Copyright terms: Public domain W3C validator