MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oexrnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oexrnex 7261
Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1oexrnex ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1ocnv 6290 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3 f1of 6278 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
41, 2, 33syl 18 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹:𝐵𝐴)
5 fex 6632 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
64, 5sylancom 568 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
7 f1orel 6281 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
87adantr 466 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → Rel 𝐹)
9 relcnvexb 7260 . . 3 (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))
108, 9syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))
116, 10mpbird 247 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2144  Vcvv 3349  ccnv 5248  Rel wrel 5254  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039
This theorem is referenced by:  gsumzf1o  18519  poimirlem3  33738  poimirlem24  33759  poimirlem25  33760
  Copyright terms: Public domain W3C validator