Theorem f1ocnvfv2 6573

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 6201	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6231	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4		f1ocnv 6187	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
5		f1of 6175	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
7		fvco3 6314	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
8	6, 7	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
9		fvresi 6480	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2693	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   I cid 5052  ^◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6575  fveqf1o  6597  isocnv  6620  f1oiso2  6642  weniso  6644  ordiso2  8461  cantnfle  8606  cantnfp1lem3  8615  cantnflem1b  8621  cantnflem1d  8623  cantnflem1  8624  cnfcom2lem  8636  cnfcom2  8637  cnfcom3lem  8638  acndom2  8915  iunfictbso  8975  ttukeylem7  9375  fpwwe2lem6  9495  fpwwe2lem7  9496  uzrdglem  12796  uzrdgsuci  12799  fzennn  12807  axdc4uzlem  12822  seqf1olem1  12880  seqf1olem2  12881  hashfz1  13174  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  summolem3  14489  summolem2a  14490  ackbijnn  14604  prodmolem3  14707  prodmolem2a  14708  sadcaddlem  15226  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  sadeq  15241  phimullem  15531  eulerthlem2  15534  catcisolem  16803  mhmf1o  17392  ghmf1o  17737  f1omvdconj  17912  gsumval3eu  18351  gsumval3  18354  lmhmf1o  19094  fidomndrnglem  19354  basqtop  21562  tgqtop  21563  ordthmeolem  21652  symgtgp  21952  imasf1obl  22340  xrhmeo  22792  ovoliunlem2  23317  vitalilem2  23423  dvcnvlem  23784  dvcnv  23785  dvcnvre  23827  efif1olem4  24336  eff1olem  24339  eflog  24368  dvrelog  24428  dvlog  24442  asinrebnd  24673  sqff1o  24953  lgsqrlem4  25119  cnvmot  25481  f1otrg  25796  f1otrge  25797  axcontlem10  25898  usgrnbcnvfv  26311  wlkiswwlks2lem4  26826  clwlkclwwlklem2a4  26963  cnvunop  28905  unopadj  28906  bracnvbra  29100  abliso  29824  mndpluscn  30100  cvmfolem  31387  cvmliftlem6  31398  f1ocan1fv  33651  ismtycnv  33731  ismtyima  33732  ismtybndlem  33735  rngoisocnv  33910  lautcnvle  35693  lautcvr  35696  lautj  35697  lautm  35698  ltrncnvatb  35742  ltrncnvel  35746  ltrncnv  35750  ltrneq2  35752  cdlemg17h  36273  diainN  36663  diasslssN  36665  doca3N  36733  dihcnvid2  36879  dochocss  36972  mapdcnvid2  37263  rmxyval  37797  mgmhmf1o  42112