MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv1 6695
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 6326 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
21fveq1d 6354 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
32adantr 472 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4 f1of 6298 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
5 fvco3 6437 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
64, 5sylan 489 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
7 fvresi 6603 . . 3 (𝐶𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
87adantl 473 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
93, 6, 83eqtr3d 2802 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   I cid 5173  ccnv 5265  cres 5268  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  6697  wemapwe  8767  fseqenlem2  9038  acndom  9064  isf34lem5  9392  axcc3  9452  pwfseqlem1  9672  hashdom  13360  fz1isolem  13437  cnrecnv  14104  sadcadd  15382  sadadd2  15384  invinv  16631  catcisolem  16957  mhmf1o  17546  srngnvl  19058  mdetleib2  20596  2ndcdisj  21461  cnheiborlem  22954  iunmbl2  23525  dvcnvlem  23938  eff1olem  24493  logef  24527  adjbdlnb  29252  cnvbrabra  29280  fsumiunle  29884  fzto1stinvn  30163  madjusmdetlem1  30202  tpr2rico  30267  esumiun  30465  lautj  35882  lautm  35883  ldilcnv  35904  ltrneq2  35937  trlcnv  35955  diaocN  36916  dihcnvid1  37063  dochocss  37157  mapdcnvid1N  37445
  Copyright terms: Public domain W3C validator