Theorem f1fveq 6559

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 6554	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6229	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 215	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  –1-1→wf1 5923  ‘cfv 5926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fv 5934

This theorem is referenced by:  f1elima  6560  f1dom3fv3dif  6565  cocan1  6586  isof1oidb  6614  isosolem  6637  f1oiso  6641  weniso  6644  f1oweALT  7194  2dom  8070  xpdom2  8096  wemapwe  8632  fseqenlem1  8885  dfac12lem2  9004  infpssrlem4  9166  fin23lem28  9200  isf32lem7  9219  iundom2g  9400  canthnumlem  9508  canthwelem  9510  canthp1lem2  9513  pwfseqlem4  9522  seqf1olem1  12880  bitsinv2  15212  bitsf1  15215  sadasslem  15239  sadeq  15241  bitsuz  15243  eulerthlem2  15534  f1ocpbllem  16231  f1ovscpbl  16233  fthi  16625  ghmf1  17736  f1omvdmvd  17909  odf1  18025  dprdf1o  18477  ply1scln0  19709  zntoslem  19953  iporthcom  20028  cnt0  21198  cnhaus  21206  imasdsf1olem  22225  imasf1oxmet  22227  dyadmbl  23414  vitalilem3  23424  dvcnvlem  23784  facth1  23969  usgredg2v  26164  erdszelem9  31307  cvmliftmolem1  31389  msubff1  31579  metf1o  33681  rngoisocnv  33910  laut11  35690  gicabl  37986  fourierdlem50  40691