MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1eqcocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1eqcocnv 6596
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 6204 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
2 coeq2 5313 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐺))
32eqeq1d 2653 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
41, 3syl5ibcom 235 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
54adantr 480 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
6 f1fn 6140 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺 Fn 𝐴)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → 𝐺 Fn 𝐴)
87adantr 480 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 Fn 𝐴)
9 f1fn 6140 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
1110adantr 480 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
12 equid 1985 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝑥
13 resieq 5442 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥𝑥 = 𝑥))
1412, 13mpbiri 248 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)
1514anidms 678 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)
17 breq 4687 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥))
1817ad2antlr 763 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥))
1916, 18mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥(𝐹𝐺)𝑥)
20 fnfun 6026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn 𝐴 → Fun 𝐺)
217, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → Fun 𝐺)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fun 𝐺)
23 fndm 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴)
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → dom 𝐺 = 𝐴)
2524eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥𝐴))
2625biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
27 funopfvb 6277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
2822, 26, 27syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
2928bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ↔ (𝐺𝑥) = 𝑦))
30 df-br 4686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐺𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺)
31 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐺𝑥) ↔ (𝐺𝑥) = 𝑦)
3229, 30, 313bitr4g 303 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐺𝑦𝑦 = (𝐺𝑥)))
3332biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐺𝑦𝑦 = (𝐺𝑥)))
34 fnfun 6026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
3510, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → Fun 𝐹)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
37 fndm 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴)
3938eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝐴))
4039biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
41 funopfvb 6277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹))
4236, 40, 41syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹))
43 df-br 4686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
4442, 43syl6rbbr 279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦))
45 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
46 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
4745, 46brcnv 5337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐹𝑥𝑥𝐹𝑦)
48 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦)
4944, 47, 483bitr4g 303 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐹𝑥𝑦 = (𝐹𝑥)))
5049biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐹𝑥𝑦 = (𝐹𝑥)))
5133, 50anim12d 585 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐺𝑦𝑦𝐹𝑥) → (𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
5251eximdv 1886 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦(𝑥𝐺𝑦𝑦𝐹𝑥) → ∃𝑦(𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
5346, 46brco 5325 . . . . . . . 8 (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐺𝑦𝑦𝐹𝑥))
54 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑥) ∈ V
5554eqvinc 3361 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑥) = (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥)))
5652, 53, 553imtr4g 285 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥)))
5756adantlr 751 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥)))
5819, 57mpd 15 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
598, 11, 58eqfnfvd 6354 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 = 𝐹)
6059eqcomd 2657 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 = 𝐺)
6160ex 449 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → 𝐹 = 𝐺))
625, 61impbid 202 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  cop 4216   class class class wbr 4685   I cid 5052  ccnv 5142  dom cdm 5143  cres 5145  ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  1-1wf1 5923  cfv 5926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  weisoeq  6645
  Copyright terms: Public domain W3C validator