Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmvrnfibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dmvrnfibi 8417
 Description: A one-to-one function whose domain is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1vrnfibi 8418. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1dmvrnfibi ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1dmvrnfibi
StepHypRef Expression
1 rnfi 8416 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ran 𝐹 ∈ Fin)
2 simpr 479 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
3 f1dm 6266 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 f1f1orn 6310 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
5 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴𝑉 ↔ dom 𝐹𝑉))
6 f1oeq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
75, 6anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
87eqcoms 2768 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
98biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
109expcomd 453 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1211impcom 445 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1312adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
14 f1oeng 8142 . . . . . 6 ((dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
16 enfii 8344 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ dom 𝐹 ≈ ran 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
18 f1fun 6264 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
1918ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
20 fundmfibi 8412 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2217, 21mpbird 247 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
2322ex 449 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
241, 23impbid2 216 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  Fun wfun 6043  –1-1→wf1 6046  –1-1-onto→wf1o 6048   ≈ cen 8120  Fincfn 8123 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-fin 8127 This theorem is referenced by:  f1vrnfibi  8418  fmtnoinf  41976
 Copyright terms: Public domain W3C validator