Theorem f10 6332

Description: The empty set maps one-to-one into any class. (Contributed by NM, 7-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f10	⊢ ∅:∅–1-1→𝐴

Proof of Theorem f10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6248	. 2 ⊢ ∅:∅⟶𝐴
2		fun0 6116	. . 3 ⊢ Fun ∅
3		cnv0 5694	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
4	3	funeqi 6071	. . 3 ⊢ (Fun ◡∅ ↔ Fun ∅)
5	2, 4	mpbir 221	. 2 ⊢ Fun ◡∅
6		df-f1 6055	. 2 ⊢ (∅:∅–1-1→𝐴 ↔ (∅:∅⟶𝐴 ∧ Fun ◡∅))
7	1, 5, 6	mpbir2an 993	1 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴

Syntax hints:  ∅c0 4059  ^◡ccnv 5266  Fun wfun 6044  ⟶wf 6046  –1-1→wf1 6047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-br 4806  df-opab 4866  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055

This theorem is referenced by:  f10d  6333  fo00  6335  marypha1lem  8507  hashf1  13454  usgr0  26356