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Theorem extwwlkfablem2 27102
Description: Lemma 2 for extwwlkfab 27112. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
extwwlkfablem2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem extwwlkfablem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 26788 . . . . 5 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 swrdcl 13373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
653ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11 uz3m2nn 11691 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
1211ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
13 0le2 11071 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
14 eluzelre 11658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 2re 11050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℝ)
1714, 16subge02d 10579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 ≤ 2 ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
1813, 17mpbii 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
20 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
22213ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
2419, 23mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤))
26 swrdn0 13384 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅)
2710, 12, 25, 26syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅)
288, 27jca 554 . . . . . . . 8 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅))
29 eluzelz 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 2z 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℤ)
3229, 31zsubcld 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
33 peano2zm 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 − 2) ∈ ℤ → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ)
35 peano2zm 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3714, 16resubcld 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℝ)
38 1red 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
4139, 40subge02d 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 2 ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
4213, 41mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
43423ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
44 lesub1 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 2) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1)))
4543, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
4637, 14, 38, 45syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
47 eluz2 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)) ↔ (((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1)))
4834, 36, 46, 47syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)))
50 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
51 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘𝑤) = 𝑁)
52 uzuzle23 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
54 extwwlkfablem2lem 27099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
5550, 51, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
5655oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
5756fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (ℤ‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)))
5849, 57eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)))
59 fzoss2 12453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
60 ssralv 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6252anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
63 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
6462, 63sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
6564, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
6665oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
6766oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 − 2) − 1)))
6867eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))))
6950adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
70 fzossfz 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1))
7114lem1d 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
72 eluz2 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
7336, 29, 71, 72syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
74 fzss2 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
7670, 75syl5ss 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77 ige2m2fzo 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7852, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7976, 78sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
81 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (0...(#‘𝑤)) = (0...𝑁))
8281eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
8382ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
8480, 83mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
86 elfzom1elfzo 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
8732, 86sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
8887adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
89 swrd0fv 13393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤𝑖))
9069, 85, 88, 89syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤𝑖))
9190eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑤𝑖) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖))
9279adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
9382adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
9492, 93mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
9594ad4ant23 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
9632adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
97 elfzom1elp1fzo 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
9896, 97sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
99 swrd0fv 13393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
10069, 95, 98, 99syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
101100eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)))
10291, 101preq12d 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
103102ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1)) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))}))
10468, 103sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))}))
105104imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1))) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
106105eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1))) → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107106ralbidva 2981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10861, 107sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
109108ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
111110a1dd 50 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1121113imp1 1277 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
113112adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
114 ige3m2fz 12323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
115114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
116 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
117116eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
118117ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
119115, 118mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))
120 swrd0fvlsw 13397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
12150, 119, 120syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
122 swrd0fv0 13394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
12350, 119, 122syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
124121, 123preq12d 4253 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
1251243ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
126125adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
127 eluzelcn 11659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
128 cnm2m1cnm3 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
129128fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
130127, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
132 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
133132biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
134 3m1e2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 1) = 2
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 − 1) = 2)
136135oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = (𝑁 − 2))
137 3cn 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℂ)
139 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
140127, 138, 139subsubd 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = ((𝑁 − 3) + 1))
141136, 140eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 3) + 1))
142141fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
143133, 142sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
144131, 143preq12d 4253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
145144adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
146126, 145eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
147 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
148 eluzel2 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℤ)
149148, 36zaddcld 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
150 2pos 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
15116, 14ltaddposd 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 < 2 ↔ 𝑁 < (𝑁 + 2)))
152150, 151mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 < (𝑁 + 2))
153138, 127, 139addsub12d 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (3 − 1)))
154134oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 + (3 − 1)) = (𝑁 + 2)
155153, 154syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 2))
156152, 155breqtrrd 4651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 < (3 + (𝑁 − 1)))
157 elfzo2 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (3 + (𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (3 + (𝑁 − 1))))
158147, 149, 156, 157syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))))
159158, 36jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
160 fzosubel3 12485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
161 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤𝑖) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
162 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 3) + 1))
163162fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
164161, 163preq12d 4253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑁 − 3) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
165164eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 3) → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
166165rspcv 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
167159, 160, 1663syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
168167com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1691683ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
170169imp 445 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
171170adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
172146, 171eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
17328, 113, 1723jca 1240 . . . . . . 7 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
174173exp31 629 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
175174adantld 483 . . . . 5 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1763, 175syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1771763imp21 1274 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
17850, 51, 533jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
179178ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
1801clwwlknbp 26786 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁))
181179, 180syl11 33 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
182181adantl 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
183182imp 445 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
1841833adant3 1079 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
185184, 54syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
186177, 185jca 554 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)))
18711adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
188 isclwwlksn 26783 . . . . 5 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
189187, 188syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
1901, 2isclwwlks 26781 . . . . . 6 ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
191190a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
192191anbi1d 740 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
193189, 192bitrd 268 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
1941933ad2ant1 1080 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
195186, 194mpbird 247 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wss 3560  c0 3897  {cpr 4157  cop 4161   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  cn 10980  2c2 11030  3c3 11031  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246   lastS clsw 13247   substr csubstr 13250  Vtxcvtx 25808  Edgcedg 25873   USGraph cusgr 25971  ClWWalkscclwwlks 26776   ClWWalksN cclwwlksn 26777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-substr 13258  df-clwwlks 26778  df-clwwlksn 26779
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