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Theorem extwwlkfablem1OLD 27524
Description: Obsolete version of clwwlknlbonbgr1 27195 as of 17-Feb-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (Proof shortened by AV, 29-Jan-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
extwwlkfablem1OLD (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)))

Proof of Theorem extwwlkfablem1OLD
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq1 4405 . . . . 5 ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
213ad2ant3 1129 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
3 prcom 4404 . . . 4 {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
42, 3syl6eq 2821 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
5 1e2m1 11343 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
65oveq2i 6807 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))
7 eluzelcn 11905 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 2cnd 11299 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
9 1cnd 10262 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
107, 8, 9subsubd 10626 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
116, 10syl5req 2818 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
1211fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
1312preq2d 4412 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
1413adantr 466 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
15 ige2m2fzo 12739 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1816, 17clwwlknp 27192 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1918simp2d 1137 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
20 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
21 oveq1 6803 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
2221fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)))
2320, 22preq12d 4413 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))})
2423eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2524rspcva 3458 . . . . . . 7 (((𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2615, 19, 25syl2an 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2714, 26eqeltrrd 2851 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2827adantll 693 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
29283adant3 1126 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
304, 29eqeltrrd 2851 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
3117nbusgreledg 26472 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3231adantr 466 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
33323ad2ant1 1127 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3430, 33mpbird 247 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {cpr 4319  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cmin 10472  2c2 11276  cuz 11893  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487  lastSclsw 13488  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160  USGraphcusgr 26266   NeighbVtx cnbgr 26447   ClWWalksN cclwwlkn 27174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-edg 26161  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-usgr 26268  df-nbgr 26448  df-clwwlk 27132  df-clwwlkn 27176
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