Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extoimad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extoimad 38984
Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
extoimad.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
extoimad (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad
StepHypRef Expression
1 extoimad.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
2 extoimad.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32ffvelrnda 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
43recnd 10280 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
54abscld 14394 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6 imaco 5801 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
87eleq2d 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9 absf 14296 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11 ax-resscn 10205 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1310, 12fssresd 6232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
142, 13fco2d 38981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
15 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ))
1714, 16mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
18 ssid 3765 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
2017, 19fvelimabd 6417 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
21 eqcom 2767 . . . . . . . 8 (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2322rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2420, 23bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
252adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
26 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
2725, 26fvco3d 38982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2827eqcomd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2928eqeq2d 2770 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
3029rexbidva 3187 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
3124, 30bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
328, 31bitr3d 270 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
33 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)))
3433breq1d 4814 . . 3 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → (𝑥𝐶 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
355, 32, 34ralxfr2d 5031 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
361, 35mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cima 5269  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  cc 10146  cr 10147  cle 10287  abscabs 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  38985  imo72b2lem2  38987  imo72b2lem1  38991  imo72b2  38995
  Copyright terms: Public domain W3C validator