Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1 12907
 Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 seqp1 12856 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3 nnuz 11761 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3eleq2s 2748 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
54adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6 peano2nn 11070 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7 fvconst2g 6508 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
86, 7sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
98oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
105, 9eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11 expnnval 12903 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
126, 11sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13 expnnval 12903 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
1413oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
1510, 12, 143eqtr4d 2695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
16 exp1 12906 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17 mulid2 10076 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1816, 17eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
1918adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2120oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 11170 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2321, 22syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
2423oveq2d 6706 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
26 exp0 12904 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2725, 26sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
2827oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
2919, 24, 283eqtr4d 2695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
3015, 29jaodan 843 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
311, 30sylan2b 491 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {csn 4210   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤ≥cuz 11725  seqcseq 12841  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  expcllem  12911  expm1t  12928  expeq0  12930  mulexp  12939  expadd  12942  expmul  12945  leexp2r  12958  leexp1a  12959  sqval  12962  cu2  13003  i3  13006  binom3  13025  bernneq  13030  modexp  13039  expp1d  13049  faclbnd  13117  faclbnd2  13118  faclbnd4lem1  13120  faclbnd6  13126  cjexp  13934  absexp  14088  binomlem  14605  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  geolim  14645  geo2sum  14648  efexp  14875  demoivreALT  14975  rpnnen2lem11  14997  pwp1fsum  15161  prmdvdsexp  15474  pcexp  15611  prmreclem6  15672  decexp2  15826  numexpp1  15829  cnfldexp  19827  expcn  22722  mbfi1fseqlem5  23531  dvexp  23761  aaliou3lem2  24143  tangtx  24302  cxpmul2  24480  mcubic  24619  cubic2  24620  binom4  24622  dquartlem2  24624  quart1lem  24627  quart1  24628  quartlem1  24629  log2cnv  24716  log2ublem2  24719  log2ub  24721  basellem3  24854  chtublem  24981  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  bclbnd  25050  bposlem8  25061  dchrisum0flblem1  25242  pntlemo  25341  qabvexp  25360  psgnfzto1st  29983  oddpwdc  30544  hgt750lem  30857  subfacval2  31295  sinccvglem  31692  heiborlem6  33745  bfplem1  33751  pwdif  41826  2exp7  41839  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  altgsumbcALT  42456
 Copyright terms: Public domain W3C validator