MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnprm 15653
Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
expnprm ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 11800 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
21simprbi 479 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
32adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4 eluzelz 11735 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
54ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
7 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
109nnne0d 11103 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
11 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13120expd 13064 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
1410, 13neeqtrrd 2897 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
1615necon3i 2855 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18 pcqcl 15608 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
196, 7, 17, 18syl12anc 1364 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20 dvdsmul1 15050 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
215, 19, 20syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
229nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2322exp1d 13043 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁)↑1) = (𝐴𝑁))
2423oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)))
25 1z 11445 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
26 pcid 15624 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
276, 25, 26sylancl 695 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
28 pcexp 15611 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
296, 7, 17, 5, 28syl121anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
3024, 27, 293eqtr3rd 2694 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
3121, 30breqtrd 4711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
3231ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
3311adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnnn0d 11389 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35 dvds1 15088 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3634, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3732, 36sylibd 229 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
3837necon3ad 2836 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ))
393, 38mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cq 11826  cexp 12900  cdvds 15027  cprime 15432   pCnt cpc 15588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  25219
  Copyright terms: Public domain W3C validator