MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnlbnd2 13202
Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 13201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴)
2 simpl2 1229 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 1231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 < 𝐵)
4 1re 10241 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
5 ltle 10328 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
64, 2, 5sylancr 575 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
73, 6mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8 simprr 756 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
9 leexp2a 13123 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
102, 7, 8, 9syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
11 0red 10243 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12 1red 10257 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13 0lt1 10752 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 1)
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 10400 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 𝐵)
162, 15elrpd 12072 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17 nnz 11601 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1817ad2antrl 707 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 13086 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
2016, 18, 19syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
21 eluzelz 11898 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
2221ad2antll 708 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 13086 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2416, 22, 23syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2520, 24lerecd 12094 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗))))
2610, 25mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)))
2724rprecred 12086 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
2820rprecred 12086 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ)
29 simpl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3029rpred 12075 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 lelttr 10330 . . . . . . 7 (((1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3227, 28, 30, 31syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3326, 32mpand 675 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3433anassrs 458 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3534ralrimdva 3118 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3635reximdva 3165 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
371, 36mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  cn 11222  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator