MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expneg 12851
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 11279 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnne0 11038 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4 nncn 11013 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
65negeq0d 10369 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
76necon3abid 2827 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
83, 7mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
98iffalsed 4088 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))))
10 nnnn0 11284 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12 nn0nlt0 11304 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1411nn0red 11337 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1514lt0neg1d 10582 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
1613, 15mtbid 314 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
1716iffalsed 4088 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))
185negnegd 10368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1918fveq2d 6182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
2019oveq2d 6651 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
219, 17, 203eqtrd 2658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22 nnnegz 11365 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23 expval 12845 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
2422, 23sylan2 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
25 expnnval 12846 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
2625oveq2d 6651 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
2721, 24, 263eqtr4d 2664 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
28 1div1e1 10702 . . . . 5 (1 / 1) = 1
2928eqcomi 2629 . . . 4 1 = (1 / 1)
30 negeq 10258 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31 neg0 10312 . . . . . . 7 -0 = 0
3230, 31syl6eq 2670 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
3332oveq2d 6651 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
34 exp0 12847 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3533, 34sylan9eqr 2676 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
36 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
3736, 34sylan9eqr 2676 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
3837oveq2d 6651 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / 1))
3929, 35, 383eqtr4a 2680 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4027, 39jaodan 825 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
411, 40sylan2b 492 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  ifcif 4077  {csn 4168   class class class wbr 4644   × cxp 5102  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926   < clt 10059  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  seqcseq 12784  cexp 12843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-seq 12785  df-exp 12844
This theorem is referenced by:  expneg2  12852  expn1  12853  expnegz  12877  efexp  14812  pcexp  15545  aaliou3lem8  24081  basellem3  24790  basellem4  24791  basellem8  24795  ex-exp  27277  dvtan  33431  irrapxlem5  37209  pellexlem2  37213  nn0digval  42159
  Copyright terms: Public domain W3C validator