MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expne0d 13200
Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its mantissa is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
expclzd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
expne0d (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqrecd.1 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 expclzd.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 expne0i 13078 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
51, 2, 3, 4syl3anc 1473 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  wne 2924  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  cz 11561  cexp 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-seq 12988  df-exp 13047
This theorem is referenced by:  absexpz  14236  0.999...  14803  0.999...OLD  14804  bitsfzo  15351  bitsmod  15352  bitsinv1lem  15357  bitsuz  15390  pcexp  15758  dvdsprmpweqle  15784  pcaddlem  15786  pcadd  15787  qexpz  15799  dvrecg  23927  dvexp3  23932  plyeq0lem  24157  aareccl  24272  taylthlem2  24319  root1cj  24688  cxpeq  24689  dcubic1lem  24761  dcubic2  24762  cubic2  24766  cubic  24767  lgamgulmlem4  24949  basellem4  25001  basellem8  25005  lgseisenlem1  25291  lgseisenlem2  25292  lgsquadlem1  25296  znsqcld  29813  dya2icoseg  30640  dya2iocucvr  30647  omssubadd  30663  oddpwdc  30717  signsplypnf  30928  signsply0  30929  knoppndvlem7  32807  knoppndvlem17  32817  rmxyneg  37979  radcnvrat  39007  dvdivbd  40633  iblsplit  40677  wallispi2lem1  40783  wallispi2lem2  40784  wallispi2  40785  stirlinglem3  40788  stirlinglem4  40789  stirlinglem7  40792  stirlinglem8  40793  stirlinglem10  40795  stirlinglem13  40798  stirlinglem14  40799  stirlinglem15  40800  fourierdlem56  40874  fourierdlem57  40875  elaa2lem  40945  sge0ad2en  41143  ovnsubaddlem1  41282  fldivexpfllog2  42861  nn0digval  42896  dignnld  42899  dig2nn1st  42901  dig2bits  42910  dignn0flhalflem1  42911  dignn0flhalflem2  42912  dignn0ehalf  42913
  Copyright terms: Public domain W3C validator