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Theorem expmulnbnd 13202
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11291 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 simp1 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 remulcl 10222 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 567 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5 simp3 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
6 1re 10240 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 simp2 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 difrp 12070 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) ∈ ℝ+))
96, 7, 8sylancr 567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) ∈ ℝ+))
105, 9mpbid 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ+)
114, 10rerpdivcld 12105 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
12 expnbnd 13199 . . 3 ((((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
1311, 7, 5, 12syl3anc 1475 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
14 2nn0 11510 . . . 4 2 ∈ ℕ0
15 nnnn0 11500 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1615ad2antrl 699 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17 nn0mulcl 11530 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1814, 16, 17sylancr 567 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
192ad2antrr 697 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 2nn 11386 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
21 simprl 746 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22 nnmulcl 11244 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2320, 21, 22sylancr 567 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
24 eluznn 11960 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2523, 24sylan 561 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 11236 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2719, 26remulcld 10271 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
28 0re 10241 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
29 ifcl 4267 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ)
3019, 28, 29sylancl 566 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ)
31 remulcl 10222 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ)
321, 30, 31sylancr 567 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ)
33 simplrl 754 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnred 11236 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
3526, 34resubcld 10659 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℝ)
3632, 35remulcld 10271 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
377ad2antrr 697 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3825nnnn0d 11552 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39 reexpcl 13083 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
4037, 38, 39syl2anc 565 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
41 remulcl 10222 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℝ) → (2 · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
421, 35, 41sylancr 567 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
4338nn0ge0d 11555 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑘)
44 max1 12220 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
4528, 19, 44sylancr 567 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
46 remulcl 10222 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
471, 34, 46sylancr 567 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
48 eluzle 11900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)) → (2 · 𝑛) ≤ 𝑘)
4948adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) ≤ 𝑘)
5047, 26, 26, 49leadd2dd 10843 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (𝑘 + 𝑘))
5126recnd 10269 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52512timesd 11476 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
5350, 52breqtrrd 4812 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘))
54 remulcl 10222 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
551, 26, 54sylancr 567 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
56 leaddsub 10705 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛))))
5726, 47, 55, 56syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛))))
5853, 57mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
59 2cnd 11294 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 2 ∈ ℂ)
6034recnd 10269 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6159, 51, 60subdid 10687 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
6258, 61breqtrrd 4812 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ≤ (2 · (𝑘𝑛)))
63 max2 12222 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
6428, 19, 63sylancr 567 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 11168 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 · 𝐴) ≤ ((2 · (𝑘𝑛)) · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
6619recnd 10269 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6766, 51mulcomd 10262 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) = (𝑘 · 𝐴))
6830recnd 10269 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
6935recnd 10269 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
7059, 68, 69mul32d 10447 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) = ((2 · (𝑘𝑛)) · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
7165, 67, 703brtr4d 4816 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) ≤ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)))
7210ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ+)
7372rpred 12074 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
7473, 35remulcld 10271 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
7533nnnn0d 11552 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
76 reexpcl 13083 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
7737, 75, 76syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
7874, 77remulcld 10271 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ)
79 simplrr 755 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
801, 19, 3sylancr 567 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
8180, 77, 72ltdivmuld 12125 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
8279, 81mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
835ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 1 < 𝐵)
84 posdif 10722 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
856, 37, 84sylancr 567 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
8683, 85mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝐵 − 1))
8733nnzd 11682 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℤ)
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ∈ ℝ)
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 1 ∈ ℝ)
90 0lt1 10751 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < 1)
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 10399 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < 𝐵)
93 expgt0 13099 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑛))
9437, 87, 92, 93syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝐵𝑛))
9573, 77, 86, 94mulgt0d 10393 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
96 oveq2 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (2 · 𝐴) = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
9796breq1d 4794 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → ((2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
98 2t0e0 11384 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
99 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (2 · 0) = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
10098, 99syl5eqr 2818 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → 0 = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
101100breq1d 4794 . . . . . . . . . 10 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
10297, 101ifboth 4261 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∧ 0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
10382, 95, 102syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
10473, 77remulcld 10271 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ)
105 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)))
106602timesd 11476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
107106fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (ℤ‘(2 · 𝑛)) = (ℤ‘(𝑛 + 𝑛)))
108105, 107eleqtrd 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 𝑛)))
109 eluzsub 11917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛))
11087, 87, 108, 109syl3anc 1475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛))
111 eluznn 11960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ)
11233, 110, 111syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ)
113112nngt0d 11265 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝑘𝑛))
114 ltmul1 11074 . . . . . . . . 9 (((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛))))
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛))))
116103, 115mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛)))
11773recnd 10269 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
11877recnd 10269 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
119117, 118, 69mul32d 10447 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛)) = (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)))
120116, 119breqtrd 4810 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)))
121 peano2re 10410 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
12274, 121syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
123112nnnn0d 11552 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
124 reexpcl 13083 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
12537, 123, 124syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
12674ltp1d 11155 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1))
12788, 37, 92ltled 10386 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝐵)
128 bernneq2 13197 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ≤ (𝐵↑(𝑘𝑛)))
12937, 123, 127, 128syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ≤ (𝐵↑(𝑘𝑛)))
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 10398 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < (𝐵↑(𝑘𝑛)))
13137recnd 10269 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℂ)
13292gt0ne0d 10793 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ≠ 0)
133 eluzelz 11897 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
134133adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 expsub 13114 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) = ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) = ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
137130, 136breqtrd 4810 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
138 ltmuldiv 11097 . . . . . . . 8 ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑛))) → ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛))))
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1479 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛))))
140137, 139mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘))
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 10399 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (𝐵𝑘))
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 10396 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
143142ralrimiva 3114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
144 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑗 = (2 · 𝑛) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(2 · 𝑛)))
145144raleqdv 3292 . . . 4 (𝑗 = (2 · 𝑛) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘)))
146145rspcev 3458 . . 3 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
14718, 143, 146syl2anc 565 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
14813, 147rexlimddv 3182 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by:  geomulcvg  14813
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