MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmhm 19938
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (ℂflds0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 12993 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
2 eqid 2724 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))
31, 2fmptd 6500 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
4 expadd 13017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
543expb 1113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
6 nn0addcl 11441 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
76adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
8 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
9 ovex 6793 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
108, 2, 9fvmpt 6396 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 6773 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 6793 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 2, 13fvmpt 6396 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 6773 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 6793 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 2, 16fvmpt 6396 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 6784 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
205, 11, 193eqtr4d 2768 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3073 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 0nn0 11420 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
24 ovex 6793 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 2, 24fvmpt 6396 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27 exp0 12979 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2826, 27syl5eq 2770 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)
29 nn0subm 19924 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (ℂflds0)
3130submmnd 17476 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 19891 . . . . 5 fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3534ringmgp 18674 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 470 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 17477 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 0 = (Base‘𝑁)
40 cnfldbas 19873 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
4134, 40mgpbas 18616 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑀)
42 cnfldadd 19874 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
4330, 42ressplusg 16116 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g𝑁))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝑁)
45 cnfldmul 19875 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
4634, 45mgpplusg 18614 . . . 4 · = (+g𝑀)
47 cnfld0 19893 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
4830, 47subm0 17478 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0g𝑁)
50 cnfld1 19894 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
5134, 50ringidval 18624 . . . 4 1 = (0g𝑀)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 17459 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)))
5337, 52mpbiran 991 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1))
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1383 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  cmpt 4837  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  0cn0 11405  cexp 12975  Basecbs 15980  s cress 15981  +gcplusg 16064  0gc0g 16223  Mndcmnd 17416   MndHom cmhm 17455  SubMndcsubmnd 17456  mulGrpcmgp 18610  Ringcrg 18668  fldccnfld 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-cnfld 19870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator