MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 19892
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u 𝑈 = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 12924 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
213expa 1284 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3 eqid 2651 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))
42, 3fmptd 6425 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
5 expaddz 12944 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
6 zaddcl 11455 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
76adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
8 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
9 ovex 6718 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
108, 3, 9fvmpt 6321 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 3, 13fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 3, 16fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 6709 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
205, 11, 193eqtr4d 2695 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3000 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 zringgrp 19871 . . . 4 ring ∈ Grp
23 cnring 19816 . . . . 5 fld ∈ Ring
24 cnfldbas 19798 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
25 cnfld0 19818 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
26 cndrng 19823 . . . . . . 7 fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 18801 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28 expghm.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3029oveq1i 6700 . . . . . . 7 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3128, 30eqtri 2673 . . . . . 6 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3227, 31unitgrp 18713 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 𝑈 ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 470 . . 3 (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35 zringbas 19872 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
36 difss 3770 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3729, 24mgpbas 18541 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3828, 37ressbas2 15978 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40 zringplusg 19873 . . . 4 + = (+g‘ℤring)
41 fvex 6239 . . . . . 6 (Unit‘ℂfld) ∈ V
4227, 41eqeltri 2726 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
43 cnfldmul 19800 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
4429, 43mgpplusg 18539 . . . . . 6 · = (+g𝑀)
4528, 44ressplusg 16040 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g𝑈))
4642, 45ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑈)
4735, 39, 40, 46isghm 17707 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))))
4834, 47mpbiran 973 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧))))
494, 21, 48sylanbrc 699 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  cz 11415  cexp 12900  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  Grpcgrp 17469   GrpHom cghm 17704  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  fldccnfld 19794  ringzring 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  25148
  Copyright terms: Public domain W3C validator