Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expeq0 13097
 Description: Positive integer exponentiation is 0 iff its mantissa is 0. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
expeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑1))
21eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
32bibi1d 332 . . . 4 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
76bibi1d 332 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
1110bibi1d 332 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
1514bibi1d 332 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17 exp1 13073 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eqeq1d 2773 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19 nnnn0 11506 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expp1 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2120eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) = 0))
22 expcl 13085 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
23 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2422, 23mul0ord 10883 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
2521, 24bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
2619, 25sylan2 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27 biimp 205 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28 idd 24 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
2927, 28jaod 848 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30 olc 857 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
3129, 30impbid1 215 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
3226, 31sylan9bb 499 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3332exp31 406 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
3433com12 32 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
3534a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
364, 8, 12, 16, 18, 35nnind 11244 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
3736impcom 394 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  ℕcn 11226  ℕ0cn0 11499  ↑cexp 13067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-seq 13009  df-exp 13068 This theorem is referenced by:  expne0  13098  0exp  13102  sqeq0  13134  expeq0d  13211  rpexp  15639
 Copyright terms: Public domain W3C validator