Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expdiophlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expdiophlem2 38087
Description: Lemma for expdioph 38088. Exponentiation on a restricted domain is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdiophlem2
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8041 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2 3nn 11374 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
32jm2.27dlem3 38076 . . . . 5 3 ∈ (1...3)
4 ffvelrn 6516 . . . . 5 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
51, 3, 4sylancl 697 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
6 expdiophlem1 38086 . . . 4 ((𝑎‘3) ∈ ℕ0 → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
75, 6syl 17 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
87rabbiia 3320 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))}
9 3nn0 11498 . . 3 3 ∈ ℕ0
10 fvex 6358 . . . . . . . . 9 (𝑒‘5) ∈ V
11 fvex 6358 . . . . . . . . 9 (𝑒‘6) ∈ V
12 eqeq1 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝑒‘5) → (𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))))
1312anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
15 eqeq1 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝑒‘6) → (𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))))
1615anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝑒‘6) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
18 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → 𝑑 = (𝑒‘6))
19 oveq2 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
2118, 20oveq12d 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) = ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))))
2221oveq1d 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))
2322breq2d 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))
2423anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))
2517, 24anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))
2614, 25anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))
2726anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
2827anbi2d 742 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))))
2910, 11, 28sbc2ie 3642 . . . . . . . 8 ([(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
3029sbcbii 3628 . . . . . . 7 ([(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
3130sbcbii 3628 . . . . . 6 ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
32 vex 3339 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
3332resex 5597 . . . . . . 7 (𝑒 ↾ (1...3)) ∈ V
34 fvex 6358 . . . . . . 7 (𝑒‘4) ∈ V
35 df-2 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
36 df-3 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
37 ssid 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) ⊆ (1...3)
3836, 37jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...2) ⊆ (1...3)
3935, 38jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . . . . . 13 (1...1) ⊆ (1...3)
40 1nn 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
4140jm2.27dlem3 38076 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (1...1)
4239, 41sselii 3737 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...3)
4342jm2.27dlem1 38074 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
4443eleq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)))
45 2nn 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
4645jm2.27dlem3 38076 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ (1...2)
4746, 36, 45jm2.27dlem2 38075 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (1...3)
4847jm2.27dlem1 38074 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
4948eleq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑒‘2) ∈ ℕ))
5044, 49anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
5150adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
5244adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑒‘4) → 𝑏 = (𝑒‘4))
5448oveq1d 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) + 1) = ((𝑒‘2) + 1))
5543, 54oveq12d 6827 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
5653, 55eqeqan12rd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
5752, 56anbi12d 749 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
58 eleq1 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒‘4) → (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
5958adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
6053, 48oveqan12rd 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
6160eqeq2d 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
6259, 61anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
6353, 48oveqan12rd 6829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
6463eqeq2d 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
6559, 64anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
663jm2.27dlem1 38074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
6766adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
68 oveq2 6817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑒‘4) → (2 · 𝑏) = (2 · (𝑒‘4)))
6968, 43oveqan12rd 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) = ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)))
7043oveq1d 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
7269, 71oveq12d 6827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) = (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)))
7372oveq1d 6824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) = ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1))
7467, 73breq12d 4813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ↔ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)))
75 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → 𝑏 = (𝑒‘4))
7643adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
7775, 76oveq12d 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 − (𝑎‘1)) = ((𝑒‘4) − (𝑒‘1)))
7877oveq1d 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)) = (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))
7978oveq2d 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) = ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))))
8079, 67oveq12d 6827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))
8173, 80breq12d 4813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))
8274, 81anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))
8365, 82anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))
8462, 83anbi12d 749 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))
8557, 84anbi12d 749 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
8651, 85anbi12d 749 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))))
8733, 34, 86sbc2ie 3642 . . . . . 6 ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
8831, 87bitri 264 . . . . 5 ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
8988rabbii 3321 . . . 4 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))}
90 6nn0 11501 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
91 2z 11597 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
92 ovex 6837 . . . . . . . 8 (1...6) ∈ V
93 df-4 11269 . . . . . . . . . . . 12 4 = (3 + 1)
94 df-5 11270 . . . . . . . . . . . . 13 5 = (4 + 1)
95 df-6 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (5 + 1)
96 ssid 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...6) ⊆ (1...6)
9795, 96jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . . . . . 13 (1...5) ⊆ (1...6)
9894, 97jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . . . . 12 (1...4) ⊆ (1...6)
9993, 98jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . . . 11 (1...3) ⊆ (1...6)
10036, 99jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . . 10 (1...2) ⊆ (1...6)
10135, 100jm2.27dlem5 38078 . . . . . . . . 9 (1...1) ⊆ (1...6)
102101, 41sselii 3737 . . . . . . . 8 1 ∈ (1...6)
103 mzpproj 37798 . . . . . . . 8 (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
10492, 102, 103mp2an 710 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
105 eluzrabdioph 37868 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘6))
10690, 91, 104, 105mp3an 1569 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘6)
107100, 46sselii 3737 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...6)
108 mzpproj 37798 . . . . . . . 8 (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
10992, 107, 108mp2an 710 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
110 elnnrabdioph 37869 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6))
11190, 109, 110mp2an 710 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)
112 anrabdioph 37842 . . . . . 6 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6))
113106, 111, 112mp2an 710 . . . . 5 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6)
114 elmapi 8041 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → 𝑒:(1...6)⟶ℕ0)
115 ffvelrn 6516 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒:(1...6)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
116114, 107, 115sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
117 peano2nn0 11521 . . . . . . . . . 10 ((𝑒‘2) ∈ ℕ0 → ((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0)
118 oveq2 6817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
119118eqeq2d 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
120119anbi2d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
121120ceqsrexv 3471 . . . . . . . . . 10 (((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
122116, 117, 1213syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
123122bicomd 213 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))))
124123rabbiia 3320 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))}
125 vex 3339 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
126125resex 5597 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ↾ (1...6)) ∈ V
127 fvex 6358 . . . . . . . . . . 11 (𝑎‘7) ∈ V
128 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑎‘7) → 𝑏 = (𝑎‘7))
129107jm2.27dlem1 38074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘2) = (𝑎‘2))
130129oveq1d 6824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → ((𝑒‘2) + 1) = ((𝑎‘2) + 1))
131128, 130eqeqan12rd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ↔ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)))
132102jm2.27dlem1 38074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
134133eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
135 4nn 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
136135jm2.27dlem3 38076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ (1...4)
13798, 136sselii 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ (1...6)
138137jm2.27dlem1 38074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
139138adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
140132, 128oveqan12d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
141139, 140eqeq12d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
142134, 141anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
143131, 142anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))))
144126, 127, 143sbc2ie 3642 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
145144rabbii 3321 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))}
146 7nn0 11502 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
147 ovex 6837 . . . . . . . . . . . 12 (1...7) ∈ V
148 7nn 11378 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℕ
149148jm2.27dlem3 38076 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ (1...7)
150 mzpproj 37798 . . . . . . . . . . . 12 (((1...7) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
151147, 149, 150mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
152 df-7 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 7 = (6 + 1)
153 6nn 11377 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
154107, 152, 153jm2.27dlem2 38075 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ (1...7)
155 mzpproj 37798 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...7) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
156147, 154, 155mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
157 1z 11595 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
158 mzpconstmpt 37801 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...7) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
159147, 157, 158mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))
160 mzpaddmpt 37802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
161156, 159, 160mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
162 eqrabdioph 37839 . . . . . . . . . . 11 ((7 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7))
163146, 151, 161, 162mp3an 1569 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7)
164 rmydioph 38079 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
165 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑎‘1))
166165eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
167 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑎‘4))
168 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑎‘7))
169165, 168oveq12d 6827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
170167, 169eqeq12d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
171166, 170anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
172102, 152, 153jm2.27dlem2 38075 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...7)
173137, 152, 153jm2.27dlem2 38075 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ (1...7)
174171, 172, 149, 173rabren3dioph 37877 . . . . . . . . . . 11 ((7 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7))
175146, 164, 174mp2an 710 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)
176 anrabdioph 37842 . . . . . . . . . 10 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7))
177163, 175, 176mp2an 710 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7)
178145, 177eqeltri 2831 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)
179152rexfrabdioph 37857 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6))
18090, 178, 179mp2an 710 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6)
181124, 180eqeltri 2831 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6)
182 rmydioph 38079 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
183 simp1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
184183eleq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
185 simp3 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘5))
186 simp2 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
187183, 186oveq12d 6827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
188185, 187eqeq12d 2771 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
189184, 188anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
190 5nn 11376 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ
191190jm2.27dlem3 38076 . . . . . . . . . 10 5 ∈ (1...5)
192191, 95, 190jm2.27dlem2 38075 . . . . . . . . 9 5 ∈ (1...6)
193189, 137, 107, 192rabren3dioph 37877 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
19490, 182, 193mp2an 710 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
195 rmxdioph 38081 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
196 simp1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
197196eleq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
198 simp3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘6))
199 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
200196, 199oveq12d 6827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
201198, 200eqeq12d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
202197, 201anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
203153jm2.27dlem3 38076 . . . . . . . . . 10 6 ∈ (1...6)
204202, 137, 107, 203rabren3dioph 37877 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
20590, 195, 204mp2an 710 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
20699, 3sselii 3737 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ (1...6)
207 mzpproj 37798 . . . . . . . . . . 11 (((1...6) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
20892, 206, 207mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
209 mzpconstmpt 37801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
21092, 91, 209mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6))
211 mzpproj 37798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...6) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
21292, 137, 211mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
213 mzpmulmpt 37803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
214210, 212, 213mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
215 mzpmulmpt 37803 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
216214, 104, 215mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
217 2nn0 11497 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
218 mzpexpmpt 37806 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
219104, 217, 218mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
220 mzpsubmpt 37804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
221216, 219, 220mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
222 mzpconstmpt 37801 . . . . . . . . . . . 12 (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
22392, 157, 222mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))
224 mzpsubmpt 37804 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
225221, 223, 224mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
226 ltrabdioph 37870 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6))
22790, 208, 225, 226mp3an 1569 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6)
228 mzpproj 37798 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...6) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
22992, 203, 228mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
230 mzpsubmpt 37804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
231212, 104, 230mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
232 mzpproj 37798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...6) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
23392, 192, 232mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
234 mzpmulmpt 37803 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
235231, 233, 234mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
236 mzpsubmpt 37804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
237229, 235, 236mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
238 mzpsubmpt 37804 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
239237, 208, 238mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
240 dvdsrabdioph 37872 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6))
24190, 225, 239, 240mp3an 1569 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)
242 anrabdioph 37842 . . . . . . . . 9 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6))
243227, 241, 242mp2an 710 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)
244 anrabdioph 37842 . . . . . . . 8 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6))
245205, 243, 244mp2an 710 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)
246 anrabdioph 37842 . . . . . . 7 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6))
247194, 245, 246mp2an 710 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)
248 anrabdioph 37842 . . . . . 6 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6))
249181, 247, 248mp2an 710 . . . . 5 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)
250 anrabdioph 37842 . . . . 5 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6))
251113, 249, 250mp2an 710 . . . 4 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
25289, 251eqeltri 2831 . . 3 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
25393, 94, 953rexfrabdioph 37859 . . 3 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3))
2549, 252, 253mp2an 710 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3)
2558, 254eqeltri 2831 1 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wrex 3047  {crab 3050  Vcvv 3336  [wsbc 3572   class class class wbr 4800  cmpt 4877  cres 5264  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  𝑚 cmap 8019  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129   < clt 10262  cmin 10454  cn 11208  2c2 11258  3c3 11259  4c4 11260  5c5 11261  6c6 11262  7c7 11263  0cn0 11480  cz 11565  cuz 11875  ...cfz 12515  cexp 13050  cdvds 15178  mzPolycmzp 37783  Diophcdioph 37816   Xrm crmx 37962   Yrm crmy 37963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-omul 7730  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-acn 8954  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-shft 14002  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-limsup 14397  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-ef 14993  df-sin 14995  df-cos 14996  df-pi 14998  df-dvds 15179  df-gcd 15415  df-prm 15584  df-numer 15641  df-denom 15642  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-haus 21317  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826  df-log 24498  df-mzpcl 37784  df-mzp 37785  df-dioph 37817  df-squarenn 37903  df-pell1qr 37904  df-pell14qr 37905  df-pell1234qr 37906  df-pellfund 37907  df-rmx 37964  df-rmy 37965
This theorem is referenced by:  expdioph  38088
  Copyright terms: Public domain W3C validator