MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 14802
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11924 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11609 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 1 ∈ ℤ)
3 nn0ex 11499 . . . . 5 0 ∈ V
43mptex 6629 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
6 0cnd 10234 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℂ)
7 nnnn0 11500 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
9 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
10 ovex 6822 . . . . . . 7 (𝐴𝑘) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
127, 11syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
13 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1413oveq1d 6807 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
1512, 14sylan9eqr 2826 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (0↑𝑘))
16 0exp 13101 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1716adantl 467 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
1815, 17eqtrd 2804 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 14481 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
20 1zzd 11609 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
2221adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
24 absrpcl 14235 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2523, 24sylan 561 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2625reclt1d 12087 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
2722, 26mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
28 1re 10240 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
2925rpreccld 12084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3029rpred 12074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 difrp 12070 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3228, 30, 31sylancr 567 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3327, 32mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
3433rpreccld 12084 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
3534rpcnd 12076 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
36 divcnv 14791 . . . . 5 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
38 nnex 11227 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3938mptex 6629 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
41 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
42 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
43 ovex 6822 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4544adantl 467 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4634rpred 12074 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
47 nndivre 11257 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4846, 47sylan 561 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4945, 48eqeltrd 2849 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
50 oveq2 6800 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
51 eqid 2770 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
52 ovex 6822 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 6424 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5453adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
55 nnz 11600 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
56 rpexpcl 13085 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5725, 55, 56syl2an 575 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5854, 57eqeltrd 2849 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
5958rpred 12074 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
60 nnrp 12044 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
61 rpmulcl 12057 . . . . . . . 8 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6233, 60, 61syl2an 575 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6362rpred 12074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
64 peano2re 10410 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
66 rpexpcl 13085 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6729, 55, 66syl2an 575 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6867rpred 12074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
6963lep1d 11156 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
7030adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
717adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7229rpge0d 12078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
7372adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
74 bernneq2 13197 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 10395 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7725rpcnne0d 12083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0))
78 exprec 13107 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
79783expa 1110 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8077, 55, 79syl2an 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8176, 80breqtrd 4810 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8262, 57, 81lerec2d 12095 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8333rpcnne0d 12083 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0))
84 nncn 11229 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
85 nnne0 11254 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
8684, 85jca 495 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
87 recdiv2 10939 . . . . . . 7 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8883, 86, 87syl2an 575 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8982, 88breqtrrd 4812 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
9089, 54, 453brtr4d 4816 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
9158rpge0d 12078 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 14579 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
93 1zzd 11609 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
944a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
967adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
98 expcl 13084 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9923, 7, 98syl2an 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10097, 99eqeltrd 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101 absexp 14251 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10223, 7, 101syl2an 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10397fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
10453adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2815 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 14523 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
107106biimpar 463 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10892, 107syldan 571 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10919, 108pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  cmpt 4861  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  +crp 12034  cexp 13066  abscabs 14181  cli 14422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427
This theorem is referenced by:  explecnv  14803  geolim  14807  geo2lim  14812  iscmet3lem3  23306  mbfi1fseqlem6  23706  geomcau  33880  stoweidlem7  40735
  Copyright terms: Public domain W3C validator