MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcld 13222
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
expcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 expcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 expcl 13092 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146  0cn0 11504  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  absexpz  14264  binomlem  14780  incexclem  14787  incexc  14788  incexc2  14789  geoserg  14817  pwm1geoser  14819  geolim  14820  geolim2  14821  geo2sum2  14824  geomulcvg  14826  bpolycl  15002  bpolydiflem  15004  efaddlem  15042  oexpneg  15291  pwp1fsum  15336  oddpwp1fsum  15337  cphipval  23262  dvexp3  23960  ply1termlem  24178  dgrcolem2  24249  dvply1  24258  aareccl  24300  aalioulem1  24306  taylfvallem1  24330  tayl0  24335  dvtaylp  24343  taylthlem2  24347  radcnvlem1  24386  pserulm  24395  logtayl  24626  cxpeq  24718  atantayl2  24885  atantayl3  24886  dfef2  24917  ftalem1  25019  ftalem2  25020  ftalem5  25023  basellem4  25030  logexprlim  25170  psgnfzto1st  30185  madjusmdetlem4  30226  oddpwdc  30746  eulerpartlemgs2  30772  signsplypnf  30957  signsply0  30958  breprexplemc  31040  breprexpnat  31042  bcprod  31952  knoppcnlem4  32813  knoppcnlem10  32819  knoppndvlem2  32831  knoppndvlem6  32835  knoppndvlem7  32836  knoppndvlem8  32837  knoppndvlem9  32838  knoppndvlem10  32839  knoppndvlem14  32843  knoppndvlem17  32846  jm2.18  38075  jm2.22  38082  jm2.23  38083  itgpowd  38320  radcnvrat  39033  binomcxplemnn0  39068  binomcxplemnotnn0  39075  expcnfg  40344  fprodexp  40347  climexp  40358  dvsinexp  40646  dvxpaek  40676  dvnxpaek  40678  ibliccsinexp  40687  iblioosinexp  40689  itgsinexplem1  40690  itgsinexp  40691  iblsplit  40703  stoweidlem1  40739  stoweidlem7  40745  wallispi2lem2  40810  wallispi2  40811  stirlinglem3  40814  stirlinglem4  40815  stirlinglem5  40816  stirlinglem7  40818  stirlinglem8  40819  stirlinglem10  40821  stirlinglem11  40822  stirlinglem13  40824  stirlinglem14  40825  stirlinglem15  40826  elaa2lem  40971  etransclem1  40973  etransclem4  40976  etransclem8  40980  etransclem18  40990  etransclem20  40992  etransclem21  40993  etransclem23  40995  etransclem35  41007  etransclem41  41013  etransclem46  41018  etransclem48  41020  pwdif  42029  pwm1geoserALT  42030  2pwp1prm  42031  lighneallem4  42055  oexpnegALTV  42116  altgsumbcALT  42659  dignn0flhalflem1  42937  nn0sumshdiglemA  42941  nn0sumshdiglemB  42942
  Copyright terms: Public domain W3C validator