MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl2lem 12912
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
expcl2lem ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11429 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ ℂ
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 ∈ 𝐹
52, 3, 4expcllem 12911 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
65ex 449 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
76adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
8 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴𝐹)
92, 8sseldi 3634 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1110recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
1312ad2antll 765 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14 expneg2 12909 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16 difss 3770 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐹𝐴 ≠ 0))
18 eldifsn 4350 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴𝐹𝐴 ≠ 0))
1917, 18sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
2016, 2sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
2116sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥𝐹)
2216sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦𝐹)
2321, 22, 3syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥𝐹𝑥 ≠ 0))
252sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹𝑥 ∈ ℂ)
2625anim1i 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
2724, 26sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦𝐹𝑦 ≠ 0))
292sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐹𝑦 ∈ ℂ)
3029anim1i 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐹𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3128, 30sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32 mulne0 10707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
3327, 31, 32syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
3523, 33, 34sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
37 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
384, 36, 37mpbir2an 975 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
3920, 35, 38expcllem 12911 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
4019, 13, 39syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
4116, 40sseldi 3634 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
4340, 42sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
4443simprd 478 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45 neeq1 2885 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
4746eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
4845, 47imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
5049ex 449 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
5148, 50vtoclga 3303 . . . . . . 7 ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5241, 44, 51sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
5315, 52eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
5453ex 449 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
557, 54jaod 394 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
561, 55syl5bi 232 . 2 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
57563impia 1280 1 ((𝐴𝐹𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  rpexpcl  12919  reexpclz  12920  qexpclz  12921  m1expcl2  12922  expclzlem  12924  1exp  12929
  Copyright terms: Public domain W3C validator