Theorem expcl 13064

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3757	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10204	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10178	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13057	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℕ₀cn0 11476  ↑cexp 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-seq 12988  df-exp 13047

This theorem is referenced by:  expeq0  13076  expnegz  13080  mulexp  13085  mulexpz  13086  expadd  13088  expaddzlem  13089  expaddz  13090  expmul  13091  expmulz  13092  expdiv  13097  binom3  13171  digit2  13183  digit1  13184  expcld  13194  faclbnd2  13264  faclbnd4lem4  13269  faclbnd6  13272  cjexp  14081  absexp  14235  ackbijnn  14751  binomlem  14752  binom1p  14754  binom1dif  14756  expcnv  14787  geolim  14792  geolim2  14793  geo2sum  14795  geomulcvg  14798  geoisum  14799  geoisumr  14800  geoisum1  14801  geoisum1c  14802  0.999...  14803  0.999...OLD  14804  fallrisefac  14947  0risefac  14960  binomrisefac  14964  bpolysum  14975  bpolydiflem  14976  fsumkthpow  14978  bpoly3  14980  bpoly4  14981  fsumcube  14982  eftcl  14995  eftabs  14997  efcllem  14999  efcj  15013  efaddlem  15014  eflegeo  15042  efi4p  15058  prmreclem6  15819  decsplitOLD  15985  karatsuba  15986  karatsubaOLD  15987  expmhm  20009  mbfi1fseqlem6  23678  itg0  23737  itgz  23738  itgcl  23741  itgcnlem  23747  itgsplit  23793  dvexp  23907  dvexp3  23932  plyf  24145  ply1termlem  24150  plypow  24152  plyeq0lem  24157  plypf1  24159  plyaddlem1  24160  plymullem1  24161  coeeulem  24171  coeidlem  24184  coeid3  24187  plyco  24188  dgrcolem2  24221  plycjlem  24223  plyrecj  24226  vieta1  24258  elqaalem3  24267  aareccl  24272  aalioulem1  24278  geolim3  24285  psergf  24357  dvradcnv  24366  psercn2  24368  pserdvlem2  24373  pserdv2  24375  abelthlem4  24379  abelthlem5  24380  abelthlem6  24381  abelthlem7  24383  abelthlem9  24385  advlogexp  24592  logtayllem  24596  logtayl  24597  logtaylsum  24598  logtayl2  24599  cxpeq  24689  dcubic1lem  24761  dcubic2  24762  dcubic1  24763  dcubic  24764  mcubic  24765  cubic2  24766  cubic  24767  binom4  24768  dquartlem2  24770  dquart  24771  quart1cl  24772  quart1lem  24773  quart1  24774  quartlem1  24775  quartlem2  24776  quart  24779  atantayl  24855  atantayl2  24856  atantayl3  24857  leibpi  24860  log2cnv  24862  log2tlbnd  24863  log2ublem3  24866  ftalem1  24990  ftalem4  24993  ftalem5  24994  basellem3  25000  musum  25108  1sgmprm  25115  perfect  25147  lgsquadlem1  25296  rplogsumlem2  25365  ostth2lem2  25514  numclwlk3lem3  27488  ipval2  27863  dipcl  27868  dipcn  27876  subfacval2  31468  jm2.23  38057  lhe4.4ex1a  39022  perfectALTV  42134  altgsumbc  42632  altgsumbcALT  42633  nn0digval  42896