MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp0d 13167
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
exp0d (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 exp0 13029 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100  cexp 13025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-neg 10432  df-z 11541  df-seq 12967  df-exp 13026
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  13247  faclbnd4lem4  13248  faclbnd6  13251  hashmap  13385  absexp  14214  binom  14732  geoser  14769  cvgrat  14785  efexp  15001  prmdvdsexpr  15602  rpexp1i  15606  phiprm  15655  odzdvds  15673  pclem  15716  pcpre1  15720  pcexp  15737  dvdsprmpweqnn  15762  prmpwdvds  15781  pgp0  18182  sylow2alem2  18204  ablfac1eu  18643  pgpfac1lem3a  18646  plyeq0lem  24136  plyco  24167  vieta1  24237  abelthlem9  24364  advlogexp  24571  cxpmul2  24605  nnlogbexp  24689  ftalem5  24973  0sgm  25040  1sgmprm  25094  dchrptlem2  25160  bposlem5  25183  lgsval2lem  25202  lgsmod  25218  lgsdilem2  25228  lgsne0  25230  chebbnd1lem1  25328  dchrisum0flblem1  25367  qabvexp  25485  ostth2lem2  25493  ostth3  25497  rusgrnumwwlk  27068  nexple  30351  faclim  31910  faclim2  31912  knoppndvlem14  32793  mzpexpmpt  37779  pell14qrexpclnn0  37901  pellfund14  37933  rmxy0  37959  jm2.17a  37998  jm2.17b  37999  jm2.18  38026  jm2.23  38034  expdioph  38061  cnsrexpcl  38206  binomcxplemnotnn0  39026  dvnxpaek  40629  wallispilem2  40755  etransclem24  40947  etransclem25  40948  etransclem35  40958  pwdif  41980  lighneallem3  42003  lighneallem4  42006  altgsumbcALT  42610  expnegico01  42787  digexp  42880  dig1  42881
  Copyright terms: Public domain W3C validator