Theorem exp0 13058

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11580	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13056	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4237	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	syl6eq 2810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   < clt 10266  -cneg 10459   / cdiv 10876  ℕcn 11212  ℤcz 11569  seqcseq 12995  ↑cexp 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-neg 10461  df-z 11570  df-seq 12996  df-exp 13055

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13059  expp1  13061  expneg  13062  expcllem  13065  mulexp  13093  expadd  13096  expmul  13099  leexp1a  13113  exple1  13114  bernneq  13184  modexp  13193  exp0d  13196  faclbnd4lem1  13274  faclbnd4lem3  13276  faclbnd4lem4  13277  cjexp  14089  absexp  14243  binom  14761  incexclem  14767  incexc  14768  climcndslem1  14780  fprodconst  14907  fallfac0  14958  bpoly0  14980  ege2le3  15019  eft0val  15041  demoivreALT  15130  pwp1fsum  15316  bits0  15352  0bits  15363  bitsinv1  15366  sadcadd  15382  smumullem  15416  numexp0  15982  psgnunilem4  18117  psgn0fv0  18131  psgnsn  18140  psgnprfval1  18142  cnfldexp  19981  expmhm  20017  expcn  22876  iblcnlem1  23753  itgcnlem  23755  dvexp  23915  dvexp2  23916  plyconst  24161  0dgr  24200  0dgrb  24201  aaliou3lem2  24297  cxp0  24615  1cubr  24768  log2ublem3  24874  basellem2  25007  basellem5  25010  lgsquad2lem2  25309  0dp2dp  29926  oddpwdc  30725  breprexp  31020  subfacval2  31476  fwddifn0  32577  stoweidlem19  40739  fmtno0  41962  pwdif  42011  bits0ALTV  42100  0dig2nn0e  42916  0dig2nn0o  42917  nn0sumshdiglemA  42923  nn0sumshdiglemB  42924  nn0sumshdiglem1  42925  nn0sumshdiglem2  42926