MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-rn 27600
Description: Example for df-rn 5269. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-rn (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Proof of Theorem ex-rn
StepHypRef Expression
1 rneq 5498 . 2 (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2 df-pr 4316 . . . 4 {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
32rneqi 5499 . . 3 ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
4 rnun 5691 . . 3 ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩})
5 2nn 11369 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
65elexi 3345 . . . . . 6 2 ∈ V
76rnsnop 5768 . . . . 5 ran {⟨2, 6⟩} = {6}
8 3nn 11370 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
98elexi 3345 . . . . . 6 3 ∈ V
109rnsnop 5768 . . . . 5 ran {⟨3, 9⟩} = {9}
117, 10uneq12i 3900 . . . 4 (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = ({6} ∪ {9})
12 df-pr 4316 . . . 4 {6, 9} = ({6} ∪ {9})
1311, 12eqtr4i 2777 . . 3 (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = {6, 9}
143, 4, 133eqtri 2778 . 2 ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {6, 9}
151, 14syl6eq 2802 1 (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  cun 3705  {csn 4313  {cpr 4315  cop 4319  ran crn 5259  cn 11204  2c2 11254  3c3 11255  6c6 11258  9c9 11261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-1cn 10178
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator