MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-res 27428
Description: Example for df-res 5155. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2 df-pr 4213 . . . . 5 {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
31, 2syl6eq 2701 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
43reseq1d 5427 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5 resundir 5446 . . 3 (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
64, 5syl6eq 2701 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
87elexi 3244 . . . . . 6 2 ∈ V
9 6re 11139 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
109elexi 3244 . . . . . 6 6 ∈ V
118, 10relsnop 5261 . . . . 5 Rel {⟨2, 6⟩}
12 dmsnopss 5643 . . . . . 6 dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13 snsspr2 4378 . . . . . . 7 {2} ⊆ {1, 2}
14 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
1513, 14syl5sseqr 3687 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
1612, 15syl5ss 3647 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17 relssres 5472 . . . . 5 ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
1811, 16, 17sylancr 696 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
20 1lt3 11234 . . . . . . . 8 1 < 3
2119, 20gtneii 10187 . . . . . . 7 3 ≠ 1
22 2lt3 11233 . . . . . . . 8 2 < 3
237, 22gtneii 10187 . . . . . . 7 3 ≠ 2
2421, 23nelpri 4234 . . . . . 6 ¬ 3 ∈ {1, 2}
2514eleq2d 2716 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
2624, 25mtbiri 316 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27 ressnop0 6460 . . . . 5 (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2918, 28uneq12d 3801 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30 un0 4000 . . 3 ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
3129, 30syl6eq 2701 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
326, 31eqtrd 2685 1 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216  dom cdm 5143  cres 5145  Rel wrel 5148  cr 9973  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  6c6 11112  9c9 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121
This theorem is referenced by:  ex-ima  27429
  Copyright terms: Public domain W3C validator