MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-prmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-prmo 27658
Description: Example for df-prmo 15943: (#p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-prmo (#p10) = 210

Proof of Theorem ex-prmo
StepHypRef Expression
1 10nn 11721 . . . 4 10 ∈ ℕ
2 prmonn2 15950 . . . 4 (10 ∈ ℕ → (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1)))
4 10nprm 16027 . . . 4 ¬ 10 ∈ ℙ
54iffalsei 4236 . . 3 if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))) = (#p‘(10 − 1))
63, 5eqtri 2793 . 2 (#p10) = (#p‘(10 − 1))
7 10m1e9 11836 . . 3 (10 − 1) = 9
87fveq2i 6336 . 2 (#p‘(10 − 1)) = (#p‘9)
9 9nn 11399 . . . . 5 9 ∈ ℕ
10 prmonn2 15950 . . . . 5 (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12 9nprm 16026 . . . . 5 ¬ 9 ∈ ℙ
1312iffalsei 4236 . . . 4 if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
1411, 13eqtri 2793 . . 3 (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15 9m1e8 11350 . . . 4 (9 − 1) = 8
1615fveq2i 6336 . . 3 (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17 8nn 11398 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
18 prmonn2 15950 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20 8nprm 16025 . . . . . 6 ¬ 8 ∈ ℙ
2120iffalsei 4236 . . . . 5 if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
2219, 21eqtri 2793 . . . 4 (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23 8m1e7 11349 . . . . 5 (8 − 1) = 7
2423fveq2i 6336 . . . 4 (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25 7nn 11397 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
26 prmonn2 15950 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28 7prm 16024 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
2928iftruei 4233 . . . . 5 if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30 7nn0 11521 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
31 3nn0 11517 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
32 0nn0 11514 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
33 7m1e6 11348 . . . . . . . 8 (7 − 1) = 6
3433fveq2i 6336 . . . . . . 7 (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35 prmo6 16044 . . . . . . 7 (#p‘6) = 30
3634, 35eqtri 2793 . . . . . 6 (#p‘(7 − 1)) = 30
37 7cn 11310 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 3cn 11301 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
39 7t3e21 11855 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4037, 38, 39mulcomli 10253 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
4137mul02i 10431 . . . . . 6 (0 · 7) = 0
4230, 31, 32, 36, 32, 40, 41decmul1 11791 . . . . 5 ((#p‘(7 − 1)) · 7) = 210
4327, 29, 423eqtri 2797 . . . 4 (#p‘7) = 210
4422, 24, 433eqtri 2797 . . 3 (#p‘8) = 210
4514, 16, 443eqtri 2797 . 2 (#p‘9) = 210
466, 8, 453eqtri 2797 1 (#p10) = 210
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  cmin 10472  cn 11226  2c2 11276  3c3 11277  6c6 11280  7c7 11281  8c8 11282  9c9 11283  cdc 11700  cprime 15592  #pcprmo 15942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-prmo 15943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator